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100年
[土木] 應用力學、材料力學
第 36 題
依薄殼理論對圓柱形壓力容器，p 為內壓，半徑為 r，厚度為 t 時，則在殼外表面的最大主應力為
- A pr / t
- B pr / (2t)
- C pr / (4t)
- D p
思路引導 VIP
請試著想像一個裝滿氣體的長型氣球：如果你將它分別沿著「長軸方向」切開（像剖開熱狗堡）以及「垂直長軸方向」切開（像切開香腸段），請思考哪一種切法的壁面截面積相對較小？而較小的受力面積對壁面所產生的應力會造成什麼樣的影響呢？
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同學，做得非常棒！你能準確地選出 (A) $pr/t$，顯示你對於薄殼理論（Thin-shell theory）中的應力分佈有著非常紮實的基礎。這題的核心在於區分圓柱殼體在內壓作用下，不同方向應力的強度差異。
環向應力與主應力之辨析
在薄殼圓柱壓力容器的受力分析中，管壁會同時承受兩個方向的正向應力。經由力平衡推導，我們可以得到沿著圓周方向的環向應力（Hoop stress）為 $\sigma_h = \frac{pr}{t}$，而沿著軸線方向的縱向應力（Longitudinal stress）則為 $\sigma_L = \frac{pr}{2t}$。在殼體外表面，由於徑向應力為零，這兩個應力即為該處的主應力。顯然，環向應力的大小是縱向應力的兩倍，因此最大主應力必然是 $\frac{pr}{t}$。
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