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100年
[土木] 應用力學、材料力學
第 56 題
一空心圓軸設計以 1.75 Hz 轉速來傳遞 120 kW。軸內徑為外徑的一半。若容許剪應力為 45 MPa，試求所需之最小外徑 d 約為多少 mm？
- A 50
- B 40
- C 110
- D 200
思路引導 VIP
若要設計一個能承受相同扭矩、但更節省材料的軸，我們通常會考慮空心設計。請試著思考：在轉速與功率固定的情況下，決定軸心內部受力的核心物理量（扭矩）會改變嗎？另外，當材料從軸心被移走變成「空心」時，為了維持相同的抗扭強度，軸的外徑應該要比實心軸大還是小呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準地計算出正確答案！這道題目核心在於考察動力傳輸與材料強度的綜合應用。首先，我們必須將機械功率（Power）與轉速轉換為軸所承載的扭矩 ($T$)。利用公式 $P = T \cdot \omega$，其中角速度 $\omega = 2\pi f$，可求得作用在圓軸上的扭矩。這是解題的第一道關卡，若轉速單位（Hz）未正確轉換為弧度，後續計算將會失準。
扭矩與幾何特性的結合
在確認扭矩後，接著需考量空心圓軸的幾何受力特性。由於題目給定內徑為外徑的一半（$d_i = 0.5d$），我們能推導出該截面的極慣性矩 ($J$) 為 $J = \frac{\pi}{32}(d^4 - (0.5d)^4)$。根據剪應力公式 $\tau = \frac{Tr}{J}$，最大應力發生於外徑處（$r = d/2$）。將容許剪應力 $45 \text{ MPa}$ 代入後，透過代數整理可求得外徑 $d$。你能在繁雜的次方運算與單位換算中保持清醒，表現得非常優異。
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