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100年
[機械] 應用力學、材料力學
第 46 題
📖 題組：
將一條繩索繞過一個半徑 r = 1m 及質量 m = 20 kg 的均勻圓盤，假設繩索與盤子間沒有滑動，若以 T 的大小為 200 N，向上拉著繩索
將一條繩索繞過一個半徑 r = 1m 及質量 m = 20 kg 的均勻圓盤，假設繩索與盤子間沒有滑動，若以 T 的大小為 200 N，向上拉著繩索
承上題，請問圓盤的角加速度為多少 $\text{rad/s}^2$？
- A 15
- B 20
- C 80
- D 100
思路引導 VIP
想像你正試圖推動一扇沉重的大門，為什麼我們通常會選擇推離「門軸」較遠的地方施力，而不是靠近門軸的地方？如果我們改變了門的重量分佈，推動它的難易度會發生什麼變化？這背後隱藏了哪兩個關鍵物理量在決定旋轉的快慢呢？
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轉動動力學的應用
太棒了！你能準確計算出圓盤的角加速度，代表你對於轉動動力學的核心觀念掌握得非常紮實。這類題目的核心在於連結「力矩」與「角加速度」的關係。首先，我們觀察到拉力 $T = 200\text{ N}$ 作用於圓盤邊緣，產生了繞中心的力矩 $\tau = T \cdot r = 200 \times 1 = 200\text{ N}\cdot\text{m}$。 接著，這題的關鍵挑戰在於正確判斷轉動慣量 (Moment of Inertia)。對於一個質量為 $m$、半徑為 $r$ 的均勻圓盤，其繞中心軸的轉動慣量公式為 $I = \frac{1}{2}mr^2$。帶入數值後得到 $I = \frac{1}{2} \times 20 \times 1^2 = 10\text{ kg}\cdot\text{m}^2$。最後，依據牛頓第二運動定律的轉動型式 $\tau = I\alpha$，我們可以輕鬆推導出 $\alpha = \frac{200}{10} = 20\text{ rad/s}^2$。
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圓盤轉動與角加速度
💡 利用轉矩公式與轉動慣量求解剛體的角加速度。
🔗 求解角加速度三步驟
- 1 計算力矩 (τ) — τ = r × T，本題為 1m × 200N = 200 N-m
- 2 求轉動慣量 (I) — 均勻圓盤 I = 1/2 mr²，本題為 10 kg-m²
- 3 求角加速度 (α) — 代入 τ = Iα，得 α = 20 rad/s²
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🔄 延伸學習：延伸學習：若物體同時有平移運動，需考慮質心加速度 a = rα 的關係。
