第 一 題

由圖示與題意，線電荷 $+\rho_l$ 位於 $(b,0)$，$-\rho_l$ 位於 $(-b,0)$。 空間中任一點 $(x,y)$ 的電位為兩線電荷電位之疊加： $V(x,y) = -\frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0} \ln(r_+) + \frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0} \ln(r_-) = \frac{\rho_l}{2\pi\epsilon_0} \ln\left(\frac{r_-}{r_+}\right)$

利用影像電荷法 (Method of Images)，將無窮導體平面替換為一條在地面下距離 $D$ 處、帶線電荷密度 $-\rho_l$ 的無窮長直影像導線。系統轉換為兩條相距 $2D$、帶電為 $+\rho_l$ 與 $-\rho_l$ 的平行導線。 導線表面 (半徑為 $a$) 對中性面 (即地面) 的電位 $V$ 可藉由高斯定律與電場積分求得。 確切的電位公式（考慮導線半徑大小）為：