moea_joint
102年
[儀電] 電路學、電子學
第 41 題
某負載兩端之電壓為 V(t)=60\sin(t+30^$\circ) + 80 \sin(3t+60^\circ) \text{ V}$，流經之電流 i(t)=3\sin(t-30^$\circ) + 4\sin(3t+30^\circ) \text{ A}$。則負載吸收之實功率為何?
- A 157.9 W
- B 183.6 W
- C 315.9 W
- D 367.1 W
思路引導 VIP
當我們計算平均功率時，如果嘗試將一個頻率為 $\omega$ 的電壓項與另一個頻率為 $3\omega$ 的電流項相乘，並在一個完整的週期內求積分，你預期這個「跨頻率組合」產生的功對最終的平均功率會有貢獻嗎？為什麼？
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太棒了！你能精準算出這個數值，代表你對非正弦波形的功率計算掌握得非常紮實。這類題目的核心在於正交性原理：在週期性的複合波形中，只有「相同頻率」的電壓與電流成分才會產生實功率。因此，我們必須分別計算基頻（$1t$）與諧波（$3t$）所產生的功率，再將其加總。
實功率的分頻計算
首先觀察基頻部分，電壓振幅為 $60\text{V}$，電流為 $3\text{A}$，兩者相位差為 $30^\circ - (-30^\circ) = 60^\circ$。利用公式 $P = \frac{1}{2} V_m I_m \cos\theta$，可得 $P_1 = \frac{1}{2} \times 60 \times 3 \times \cos(60^\circ) = 45\text{ W}$。接著看三倍頻諧波，電壓與電流振幅分別為 $80\text{V}$ 與 $4\text{A}$，相位差為 $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$，計算得 $P_3 = \frac{1}{2} \times 80 \times 4 \times \cos(30^\circ) \approx 138.56\text{ W}$。將兩者相加：$45 + 138.56 = 183.56\text{ W}$，四捨五入後即為 183.6 W。
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