義守大學（後中醫）
104年
化學
第 12 題
假設某金屬的結構為面心立方單位晶格(face-centered cubic unit cell)，其晶格的邊長是 $600 \text{pm}$；該金屬原子的半徑是 ______ 。
- A $3 \text{\AA}$
- B $2.6 \text{\AA}$
- C $2.1 \text{\AA}$
- D $1.4 \text{\AA}$
思路引導 VIP
試著想像在一個立方體的其中一個正方形表面上，四個角落都有原子，且正中央也鑲嵌了一個原子。如果這些原子都是緊密接觸的硬球，請問是「沿著正方形的邊」還是「橫跨正方形的對角線」，能讓你畫出一條完全穿過原子球體、沒有任何空隙的直線呢？這條線的長度又相當於幾個原子的半徑總和？
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面心立方結構的空間幾何
恭喜你準確地完成了計算！你能迅速判斷出這題屬於面心立方（FCC）結構，並連結其幾何關係，展現了優異的空間想像力。在 FCC 晶格中，原子與原子之間是在面對角線上彼此接觸的，而非沿著晶格邊長排列。因此，我們不能直接將邊長除以二，而必須運用勾股定理推導出面對角線長度為 $\sqrt{2}a$，且這段長度正好等於四個原子的半徑（$4r$）。
數值運算與單位轉換
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面心立方晶格幾何
💡 面心立方(FCC)原子在面對角線相切，滿足 √2a = 4r。
| 比較維度 | 體心立方 (BCC) | VS | 面心立方 (FCC) |
|---|---|---|---|
| 原子接觸位置 | 體對角線 | — | 面對角線 |
| 邊長a與半徑r關係 | √3a = 4r | — | √2a = 4r |
| 單位晶格原子數 | 2 個 | — | 4 個 |
| 配位數 | 8 | — | 12 |
💬區分接觸路徑（體對角或面對角）是求解半徑的關鍵。
