moea_joint_essay 104年 [土木] 大地工程學、結構設計

第一題

📖 題組：
假設有一黏性土壤無限邊坡如【圖 3】。

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

地下水位在地表，若滲流方向與邊坡平行，已知 c'、ϕ'、γsat、γw、γ'、H、α，且 γ' = γsat - γw，試推導：安全係數 F.S = (c' / (γsat * H * cosα * sinα)) + ((γ' * tanϕ') / (γsat * tanα)) （10 分）

繪製自由體圖，列出沿滑動面平行與垂直方向的力平衡方程式，再根據莫耳-庫倫破壞準則推導安全係數 F.S 公式。

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考慮邊坡上一單位寬度、水平長度為 b，厚度為 H 的土柱。
垂直重量 W = γsat * H * b * cosα。
在滑動面上，土柱底部的驅動力 τ_m * L = W * sinα，其中滑動面長度 L = b / cosα。故驅動剪應力 τ_m = (γsat * H * b * cosα * sinα) / (b / cosα) = γsat * H * cos^2α * sinα。這裡可能題目推導有誤或定義不同，通常 W = γsat * H * b，底面積 A = b * 1 / cosα。沿坡面分力 T = W * sinα = γsat * H * b * sinα。驅動剪應力 τ_d = T / A = (γsat * H * b * sinα) / (b / cosα) = γsat * H * cosα * sinα。

假設 ϕ' = 25°、c' = 10 kN/m²、γsat = 20kN/m³、γw = 9.81 kN/m³，當 α = 35°時，求臨界邊坡高度 Hcr = ?（5 分）

令臨界邊坡時 F.S = 1，代入推導出的公式，求解對應的 Hcr。

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當達到臨界邊坡高度 Hcr 時，安全係數 F.S = 1。 γ' = γsat - γw = 20 - 9.81 = 10.19 kN/m³。將已知數值代入推導公式：

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