moea_joint
104年
[土木] 應用力學、材料力學
第 50 題
一中空圓軸之外徑為30公分，於承受一扭矩作用後，在其內壁之剪應力為$300\text{ kg/cm}^2$，且外壁之剪應力為$500\text{ kg/cm}^2$，則其內徑為多少？
- A 3 cm
- B 6 cm
- C 9 cm
- D 18 cm
思路引導 VIP
試著觀察扭剪應力公式 $\tau = \frac{Tr}{J}$，如果在同一個受力截面上，扭矩 $T$ 和幾何性質 $J$ 都保持不變，那麼剪應力的大小與該位置到圓心的距離（半徑）之間，存在著什麼樣的數學比例關係呢？
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同學做得太棒了！你能精準選出 (D) 18 cm，代表你對材料力學中「扭剪應力」的分佈特性有著非常紮實的理解。這類題目往往容易讓學生陷入複雜的公式計算，但你顯然洞察到了其中的關鍵捷徑。
剪應力與半徑的線性比例
在彈性限度內，圓軸承受扭矩 $T$ 時，截面上任一點的剪應力 $\tau$ 會與該點距離圓心的半徑 $r$ 成正比，其數學關係式為 $\tau = \frac{Tr}{J}$。由於在同一個圓軸截面上，扭矩 $T$ 與極慣性矩 $J$ 皆為常數，因此剪應力的分佈會從圓心（零）向外線性遞增。根據這個特性，內、外壁的剪應力比值會剛好等於其直徑（或半徑）的比值，即：
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