普考申論題
105年
[天文] 天文學概要
第 四 題
📖 題組：
克卜勒行星運動第三定律
克卜勒行星運動第三定律
下表為太陽系六顆行星之平均軌道半徑（r）與公轉週期（T）之數據。請完成克卜勒行星運動第三定律所需數據（須作答於試卷上，並標示橫坐標與縱坐標）。（5 分）
| 行星 | r（AU） | T（年） |
|---|---|---|
| 水星 | 0.39 | 0.24 |
| 金星 | 0.72 | 0.62 |
| 地球 | 1.00 | 1.00 |
| 火星 | 1.52 | 1.88 |
| 木星 | 5.20 | 11.86 |
| 土星 | 9.56 | 29.46 |
📝 此題為申論題
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看到此題應直覺聯想到克卜勒第三定律的數學表述為 T² ∝ r³。解題重點在於擴充原數據表，精確計算出各行星的 r³ 與 T² 數值，並明確指出若要透過繪製線性關係圖來驗證此定律時，所對應的橫、縱坐標軸物理量及其單位。
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【解題關鍵】克卜勒第三定律指出，行星公轉週期（T）的平方與平均軌道半徑（r）的立方成正比，即 T² ∝ r³。 【解答】 計算：依據定律，需分別求出各行星的 r³ 與 T² 之數值（取至小數點後三位）。
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克卜勒第三定律
💡 行星公轉週期的平方與其平均軌道半徑的立方成正比。
| 比較維度 | 原始變數 (r, T) | VS | 轉換變數 (r³, T²) |
|---|---|---|---|
| 函數型態 | 冪函數關係 | — | 線性比例關係 |
| 圖形特徵 | 非線性曲線 | — | 通過原點之直線 |
| 驗證目的 | 觀察數值變化趨勢 | — | 確認比值是否為常數 |
💬透過 r³ 與 T² 的轉換，可將複雜的冪函數轉化為易於判讀的線性正比關係。
