普考申論題
105年
[天文] 普通物理學概要
第 二 題
📖 題組：
一、甲乙兩地相距 L 公尺，有一個人從甲地出發走向乙地，其速度 V（單位：公尺/秒）和其行走的距離 x 有關，可用函數關係 V(x) = Vo(1 - x/L)來表示其速度。請問：
一、甲乙兩地相距 L 公尺，有一個人從甲地出發走向乙地，其速度 V（單位：公尺/秒）和其行走的距離 x 有關，可用函數關係 V(x) = Vo(1 - x/L)來表示其速度。請問：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
此人須花多少時間才能到達甲乙兩地的中點？（10 分）
思路引導 VIP
看到速度為位置的函數 $V(x)$，應直覺聯想到微積分定義式 $V = dx/dt$。解題時需透過變數分離法將 $x$ 與 $t$ 分開，並正確設定積分上下限（從出發點 $x=0$ 積分至中點 $x=L/2$）以求出定積分結果。
小題 (一)
此人出發時的速度為何？此人到達乙地時的速度為何？（5 分）
思路引導 VIP
本題考查物理情境與數學函數邊界條件的對應關係。解題關鍵在於將『出發時』與『到達乙地』轉化為位置變數 x 的具體數值（分別為 x=0 與 x=L），再代入給定的速度函數 V(x) 中計算即可得出答案。
小題 (三)
此人須花多少時間才能到達乙地？（5 分）
思路引導 VIP
面對速度與位置相依的題型，首要步驟是寫出速度的微積分定義式 V = dx/dt。接著透過「變數分離法」將位置 x 與時間 t 分開，並設定正確的積分上下限進行定積分，最後評估瑕積分（improper integral）的極限結果來釐清物理意義。
變速運動之時間積分
💡 利用瞬時速度定義以變數分離法進行定積分求解時間
🔗 變速度求解運動時間之標準推導流程
- 1 微分定義 — 確立 V(x) = dx/dt 核心關聯
- 2 變數分離 — 整理為 dt = dx / V(x) 型態
- 3 定積分設定 — 代入起訖時間與位置邊界條件
- 4 換元積分 — 令 u 函數換元並導出自然對數解
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🔄 延伸學習：延伸學習：當速度為時間函數 V(t) 或加速度為位置函數 a(x) 時的微分方程求解技巧
