普考申論題
105年
[電信工程] 通信系統概要
第 二 題
📖 題組：
將一功率頻譜密度為 N0 / 2 之白色雜訊 N(t)經過一截止頻率為 W 之低通濾波器後，得訊號 Y(t)，其中低通濾波器頻率響應 |H(f)|^2 如圖一所示。圖一中為一三角形函數，頂點在 f=0 且高度為 1，兩翼延伸至 -W 與 W。
(一)求 Y(t)之功率為何？（10 分）
(二)若要對 Y(t)進行取樣，求最小之取樣頻率，使得 Y(t)可以由取樣訊號經處理後回復。（5 分）
(三)如何由取樣訊號回復原訊號 Y(t)？（5 分）
將一功率頻譜密度為 N0 / 2 之白色雜訊 N(t)經過一截止頻率為 W 之低通濾波器後，得訊號 Y(t)，其中低通濾波器頻率響應 |H(f)|^2 如圖一所示。圖一中為一三角形函數，頂點在 f=0 且高度為 1，兩翼延伸至 -W 與 W。
(一)求 Y(t)之功率為何？（10 分）
(二)若要對 Y(t)進行取樣，求最小之取樣頻率，使得 Y(t)可以由取樣訊號經處理後回復。（5 分）
(三)如何由取樣訊號回復原訊號 Y(t)？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (二)
若要對 Y(t)進行取樣，求最小之取樣頻率，使得 Y(t)可以由取樣訊號經處理後回復。（5 分）
思路引導 VIP
這題考察的是「奈奎斯特取樣定理」（Nyquist Sampling Theorem）。首先要辨識訊號 $Y(t)$ 的最高頻率成分。從 $|H(f)|^2$ 的圖形可以看出，訊號在頻率大於 $W$ 之後能量為零，因此 $W$ 即為該訊號的頻寬。
小題 (一)
求 Y(t)之功率為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到這題，首先要聯想到隨機程序通過線性非時變（LTI）系統的特性。輸出訊號的功率頻譜密度（PSD）等於輸入 PSD 乘以系統頻率響應模數的平方。計算功率時，只需將輸出的 PSD 對所有頻率進行積分。題目給出了輸入 PSD 為常數 $N_0/2$，且直接給出了 $|H(f)|^2$ 的圖形，因此計算過程應聚焦於三角形面積的積分。
小題 (三)
如何由取樣訊號回復原訊號 Y(t)？（5 分）
思路引導 VIP
思考訊號回復（Reconstruction）的過程。在頻域上，取樣會導致頻譜以 $f_s$ 為週期進行位移。若要從這些重複的頻譜中找回原本的那一個，最直接的方法就是使用一個濾波器將其餘的高頻成分濾除。
奈奎斯特取樣定理
💡 取樣頻率須大於訊號最高頻率之兩倍，方能完整重建訊號。
🔗 訊號取樣與復原之邏輯程序
- 1 確定頻寬 — 分析訊號頻譜，找出最高頻率成份 $W$ Hz。
- 2 脈衝取樣 — 選定 $f_s \ge 2W$ 進行時域取樣，產生週期頻譜。
- 3 低通重建 — 使用截止頻率為 $W$ 的理想濾波器濾除高頻項。
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🔄 延伸學習：延伸學習：實際應用中需加入保護頻帶（Guard Band）以利濾波器實作。
