普考申論題
105年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
假設 X 均勻分布於 [-1, 1]。今使用 2^b 個準位（相當於 b 個位元之二元碼）來均勻量化該訊號，得量化後之訊號為 Xq。定義 Δ = 2 / 2^b = 2^(1-b) 為量化區間。（每小題 10 分，共 20 分） (一)假設量化誤差 Z = X - Xq 均勻分布於 [-Δ/2, Δ/2]。以 b 來表示量化誤差均方值 E[Z^2]。 (二)以 b 來表示訊號量化雜訊比（signal to quantization noise ratio, SQNR）。
假設 X 均勻分布於 [-1, 1]。今使用 2^b 個準位（相當於 b 個位元之二元碼）來均勻量化該訊號，得量化後之訊號為 Xq。定義 Δ = 2 / 2^b = 2^(1-b) 為量化區間。（每小題 10 分，共 20 分） (一)假設量化誤差 Z = X - Xq 均勻分布於 [-Δ/2, Δ/2]。以 b 來表示量化誤差均方值 E[Z^2]。 (二)以 b 來表示訊號量化雜訊比（signal to quantization noise ratio, SQNR）。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
假設量化誤差 Z = X - Xq 均勻分布於 [-Δ/2, Δ/2]。以 b 來表示量化誤差均方值 E[Z^2]。（10 分）
思路引導 VIP
看到此題應立即聯想到連續型均勻分布的特性。因為量化誤差 Z 對稱分布於 0 的兩側，其均方值 E[Z^2] 等同於變異數。可直接使用均勻分布的變異數公式 (區間長度平方除以12) 或透過機率密度函數積分求解，最後將 Δ 替換為題目給定的 b 關係式即可得解。
小題 (二)
以 b 來表示訊號量化雜訊比（signal to quantization noise ratio, SQNR）。（10 分）
思路引導 VIP
考生看到此題應立刻聯想到 SQNR 的定義：訊號功率與量化雜訊功率的比值。解題關鍵在於先求出原始訊號 X 的平均功率（即 E[X²]），再除以第一小題已求得的量化雜訊功率 E[Z²]，最後建議將結果轉換為 dB 值以展現完整性。