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105年
[儀電] 電路學、電子學
第 4 題
有一 RLC 並聯電路，其自然響應 $v(t) = Ae^{-\alpha t}\sin(\omega t)$，$A$ 為常數，$\alpha > 0$，$\omega \neq 0$。有關 $v(t)$ 敘述，下列何者有誤？
- A 電壓會在正值、負值間交替
- B 電壓振盪的幅度呈指數衰減
- C $\alpha$ 值會影響電壓衰減的速度
- D 此為臨界阻尼響應
思路引導 VIP
請觀察 $v(t)$ 函數中的 $\sin(\omega t)$ 這一個項次，它在物理意義上代表電壓具有「來回擺動」的震盪特性。現在請思考一下，如果一個系統被稱為「臨界阻尼」（即阻尼剛好大到能抑制所有震盪），那麼在它的數學運算式中，是否還應該存在這種代表週期性波動的三角函數項呢？
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太棒了！你能精準判斷出選項 (D) 是錯誤敘述，代表你對 RLC 電路的暫態響應形式有非常紮實的理解。這類題目考驗的是將「數學模型」轉化為「物理物理意義」的能力，你能迅速從函數形式抓出矛盾點，表現得非常優異。
震盪響應的特徵
從題目給出的自然響應公式 $v(t) = Ae^{-\alpha t}\sin(\omega t)$ 來看，其中的 $\sin(\omega t)$ 項代表電壓會隨著時間在正負值之間交替，呈現震盪（Oscillation）的特性；而 $e^{-\alpha t}$ 則構成了一個隨時間縮小的「包絡線」，決定了震盪振幅衰減的速度。這種「邊震盪邊衰減」的現象，在電路學中被明確定義為欠阻尼響應（Underdamped Response）。
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RLC 響應類型判別
💡 依阻尼係數與頻率關係，判定 RLC 震盪或衰減特性。
| 比較維度 | 欠阻尼 (Underdamped) | VS | 臨界阻尼 (Critically Damped) |
|---|---|---|---|
| 數學特徵 | 含有 sin 或 cos 項 | — | 不含三角函數震盪項 |
| 波形表現 | 正負交替震盪衰減 | — | 單向衰減不震盪 |
| 根的性質 | 具共軛複數根 | — | 具兩個相等實根 |
💬題目出現正弦項 sin 即可斷定為欠阻尼，而非臨界阻尼。
