moea_joint
105年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 10 題
$X, Y$ 為二個隨機變數，已知 $Var(2X - Y) = 32, Var(Y) = 4, Cov(X, Y) = -3$，則 $X$ 和 $Y$ 的相關係數為何？
- A -0.75
- B -0.70
- C -0.53
- D -0.50
思路引導 VIP
若要計算兩個變數之間的相關係數，除了已知的共變數之外，公式中還需要哪兩個關鍵的統計量？請觀察題目給出的組合變異數 $Var(2X-Y)$，思考如何利用變異數的展開性質，從這個組合資訊中提取出你缺少的那個關鍵數據？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準算出正確答案，代表你對隨機變數的線性組合性質掌握得非常透徹。這道題目是統計學中相當經典的「資訊連鎖題」，它不僅考驗你是否記得相關係數的定義，更測試你是否有能力從複雜的變異數組合中，逆向推導出所需的參數。這類題目在考試中具有極佳的鑑別度，因為只要在展開公式時漏掉係數平方或忽略了共變數項，就無法得到正確結果。
變異數分解與定義應用
我們解題的核心在於從 $Var(2X - Y) = 32$ 著手。根據變異數的性質，我們知道 $Var(aX + bY) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2ab Cov(X, Y)$。將已知數值代入後：
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