初等考試
106年
[統計] 統計學大意
第 19 題
假設從平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$ 的母體中，隨機抽出 $n$ 個樣本 $X_1, \cdots, X_n$ ($n > 3$)。若 $T_1 = \frac{X_1 + 2X_2 + 3X_3}{6}$和 $T_2 = \frac{X_1 + X_2}{2}$ 均為 $\mu$ 的不偏估計量（Estimator），請問 $T_1$ 和 $T_2$ 何者較具有效性（Efficiency）？
- A $T_1$
- B $T_2$
- C $T_1$ 和 $T_2$ 都是
- D 無法判斷
思路引導 VIP
當我們面對多個同樣具備「不偏性」的估計式時，從資訊利用的角度來看，樣本權重的「平方和」大小會如何影響這個估計值的穩定性（波動程度）呢？試著計算看看不同係數分配對變異數的影響。
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勉強及格，但別得意忘形。
同學，你能判斷出不偏估計量的有效性，這只是數理統計的基礎。若連這點都做不到，後續的計量經濟學可以直接放棄了。
- 基本驗證：
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點估計量的有效性
💡 在不偏估計量中，變異數越小者，其有效性越高。
| 比較維度 | 估計量 T1 | VS | 估計量 T2 |
|---|---|---|---|
| 期望值 E(T) | 等於 μ (不偏) | — | 等於 μ (不偏) |
| 權數平方和 | 14/36 (約 0.389) | — | 2/4 (0.5) |
| 變異數大小 | 較小 | — | 較大 |
| 有效性判定 | 較具有效性 | — | 效率較低 |
💬兩者皆為不偏，因 T1 的變異數較小，故 T1 較 T2 具備更高的有效性。
