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地特三等申論題 106年 [統計] 抽樣方法

第 一 題

📖 題組：
三、(一)臺灣自來水公司為了研究家戶用水行為，欲從家庭用水的水表資料檔中以抽樣方式抽出 1,000 戶來做家戶用水行為研究。在自來水公司的家庭水表資料檔中，各戶都有一個專門的水表號碼，也有每個月的用水度數。為了減低用水量多寡的用水行為差異，欲用用水度數分層，請敘述如何執行分層隨機抽樣。（5 分） (二)分層隨機抽樣之每一層樣本大小的配置（Allocation），應注意那三項事情？（5 分） (三)什麼時候需要採用雙重抽樣方法（Double Sampling）？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

臺灣自來水公司為了研究家戶用水行為，欲從家庭用水的水表資料檔中以抽樣方式抽出 1,000 戶來做家戶用水行為研究。在自來水公司的家庭水表資料檔中，各戶都有一個專門的水表號碼，也有每個月的用水度數。為了減低用水量多寡的用水行為差異，欲用用水度數分層，請敘述如何執行分層隨機抽樣。（5 分）

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本題測驗分層隨機抽樣的實務執行步驟。解題時應依序從定義抽樣框、決定分層標準與層數、樣本數配置（如比例或最適配置），到最後在各層內進行獨立隨機抽樣，條理分明地列出完整操作流程。

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【破題】 分層隨機抽樣旨在將異質的母體依特定變數劃分為若干同質的子群（層），再從各層隨機抽出樣本，以提高估計精確度。本題針對家戶用水行為，應依下列步驟執行： 【論述】

小題 (二)

分層隨機抽樣之每一層樣本大小的配置（Allocation），應注意那三項事情？（5 分）

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本題考查分層隨機抽樣中「樣本配置（Allocation）」的決定因素。建議考生直接回想「最適配置（Optimum Allocation）」的公式（n_h ∝ N_h S_h / √c_h），從公式中即可直接推導出影響各層樣本配置的三大關鍵變數：母體大小、變異程度與抽樣成本。

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【破題】分層隨機抽樣在決定每一層的樣本大小配置（如最適配置）時，為達到在固定成本下估計量變異數最小，或在固定變異數下成本最低，應注意以下三項核心考量因素： 【論述】 一、各層的母體大小（Stratum Size, N_h）

小題 (三)

什麼時候需要採用雙重抽樣方法（Double Sampling）？（5 分）

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看到「雙重抽樣（兩相抽樣）」，應立刻聯想到「輔助變數」與「調查成本」。當我們需要輔助資訊來進行分層或比率/迴歸估計，但母體缺乏這些資訊，且蒐集輔助資訊的成本遠低於主要變數時，即為使用的最佳時機。

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「雙重抽樣（Double Sampling）」（又稱兩相抽樣，Two-phase sampling）主要在以下情況時需要採用：

  1. 缺乏母體輔助資訊：當抽樣設計（如分層隨機抽樣、比率估計或迴歸估計）需要母體的輔助變數資訊（例如各層的母體權數 $W_h$、輔助變數的母體平均數 $\mu_x$），但該資訊未知或缺乏現成資料時。
  2. 變數調查成本差異大：蒐集輔助變數（第一相大樣本）的成本很低且容易取得，而蒐集主要研究變數（第二相小樣本）的成本很高或非常耗時。

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