地特三等申論題
106年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
五、在兩階段抽樣法中，第一階段先將母體分成 N 個抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出 n 個抽樣單位，稱為第一抽樣單位。其次，將第一階段中的每一個抽樣單位分割成 Mi (i = 1, 2, ..., N)個抽樣單位，並從 n 個第一抽樣單位以簡單隨機抽樣法各抽出 mi (i = 1, 2, ..., n)個抽樣單位（y_{i1}, y_{i2}, ..., y_{im_i}, i = 1, 2, ..., n），稱為第二抽樣單位， Σ Mi = M， M_bar = M/N， y_bar_i = (Σ y_{ij})/m_i。 (一)在什麼情況下，兩階段抽樣法即為分層隨機抽樣法？（5 分） (二)在什麼情況下，兩階段抽樣法即為群集隨機抽樣法？（5 分） (三)若 M 未知，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式及 Var_hat(μ_hat) 的估計公式。（10 分） (四)若在第一階段中不以簡單隨機抽樣法抽出 n 個抽樣單位，改以第 i（i = 1, 2, …, N）個被抽中的機率為 M_i/M（Two-Stage Cluster Sampling with Probabilities Proportional to Size, pps），請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式及 Var_hat(μ_hat) 的估計公式。（10 分）
五、在兩階段抽樣法中，第一階段先將母體分成 N 個抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出 n 個抽樣單位，稱為第一抽樣單位。其次，將第一階段中的每一個抽樣單位分割成 Mi (i = 1, 2, ..., N)個抽樣單位，並從 n 個第一抽樣單位以簡單隨機抽樣法各抽出 mi (i = 1, 2, ..., n)個抽樣單位（y_{i1}, y_{i2}, ..., y_{im_i}, i = 1, 2, ..., n），稱為第二抽樣單位， Σ Mi = M， M_bar = M/N， y_bar_i = (Σ y_{ij})/m_i。 (一)在什麼情況下，兩階段抽樣法即為分層隨機抽樣法？（5 分） (二)在什麼情況下，兩階段抽樣法即為群集隨機抽樣法？（5 分） (三)若 M 未知，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式及 Var_hat(μ_hat) 的估計公式。（10 分） (四)若在第一階段中不以簡單隨機抽樣法抽出 n 個抽樣單位，改以第 i（i = 1, 2, …, N）個被抽中的機率為 M_i/M（Two-Stage Cluster Sampling with Probabilities Proportional to Size, pps），請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式及 Var_hat(μ_hat) 的估計公式。（10 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
在什麼情況下，兩階段抽樣法即為分層隨機抽樣法？（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗抽樣設計的基本概念與極端情況的連結。考生應思考兩階段抽樣的結構（抽群集→抽元素）與分層隨機抽樣的結構（分層→層內全抽部分元素），找出讓兩者操作完全相同的條件參數（即第一階段抽樣率為100%）。
小題 (二)
在什麼情況下，兩階段抽樣法即為群集隨機抽樣法？（5 分）
思路引導 VIP
思考兩階段抽樣與單階段群集抽樣的定義差異。群集抽樣是抽出群集後，對群集內的『所有』元素進行普查，因此只需點出第二階段的抽樣數量條件即可得分。
小題 (三)
若 M 未知，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式及 Var_hat(μ_hat) 的估計公式。（10 分）
思路引導 VIP
當母體總觀察值個數 M 未知時，無法直接使用簡單膨脹估計量求平均數。此時必須以樣本資訊同時估計「母體總和」與「母體單位總數」，因此解題核心在於使用「比例估計量（Ratio Estimator）」。變異數估計式則須透過泰勒展開式（Taylor linearization）求近似，且必須包含第一階段與第二階段的抽樣誤差。
小題 (四)
若在第一階段中不以簡單隨機抽樣法抽出 n 個抽樣單位，改以第 i（i = 1, 2, …, N）個被抽中的機率為 M_i/M（Two-Stage Cluster Sampling with Probabilities Proportional to Size, pps），請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式及 Var_hat(μ_hat) 的估計公式。（10 分）
思路引導 VIP
看到機率比例抽樣（PPS），應立即聯想到 Hansen-Hurwitz 估計量。當抽取機率正比於群集大小（$p_i = M_i/M$）時，各個群集的總和估計值權重會抵銷，這使得母體平均數及變異數的估計公式大幅簡化。在有放回 PPS 抽樣的假設下，變異數的估計僅依賴抽出的各第一階單位平均數之間的樣本變異。