地特三等申論題
106年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
四、(一)若採用重複系統抽樣法（Repeated Systematic Sampling），在母體大小為 N 中抽出 ns 個“k'取 1”的系統樣本，可得 ns 個樣本大小為 n（n = N/k'）的系統樣本。若第 i 個系統樣本為 y_{i}, y_{i+k'}, ..., y_{i+(n-1)k'}，令 y_bar_{i} = (Σ y_{ij})/n，（i = 1, 2, ..., ns）為第 i 個系統樣本的平均數，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分） (二)若採用群集隨機抽樣法（Cluster Sampling），在母體大小為 M 中先分成 N 個群集（cluster）（每一個群集之個數為 m1, m2, ..., mN， Σ m_i = M），再以群集為抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出 n 個群集為一群集樣本，稱為群集隨機樣本。若 y_i 表示第 i 個群集中變數值的總和，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分） (三)在何種條件下，題(一)及(二)所述兩種抽樣法之母體平均數的估計值公式會相同？（5 分）
四、(一)若採用重複系統抽樣法（Repeated Systematic Sampling），在母體大小為 N 中抽出 ns 個“k'取 1”的系統樣本，可得 ns 個樣本大小為 n（n = N/k'）的系統樣本。若第 i 個系統樣本為 y_{i}, y_{i+k'}, ..., y_{i+(n-1)k'}，令 y_bar_{i} = (Σ y_{ij})/n，（i = 1, 2, ..., ns）為第 i 個系統樣本的平均數，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分） (二)若採用群集隨機抽樣法（Cluster Sampling），在母體大小為 M 中先分成 N 個群集（cluster）（每一個群集之個數為 m1, m2, ..., mN， Σ m_i = M），再以群集為抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出 n 個群集為一群集樣本，稱為群集隨機樣本。若 y_i 表示第 i 個群集中變數值的總和，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分） (三)在何種條件下，題(一)及(二)所述兩種抽樣法之母體平均數的估計值公式會相同？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
若採用重複系統抽樣法（Repeated Systematic Sampling），在母體大小為 N 中抽出 ns 個“k'取 1”的系統樣本，可得 ns 個樣本大小為 n（n = N/k'）的系統樣本。若第 i 個系統樣本為 y_{i}, y_{i+k'}, ..., y_{i+(n-1)k'}，令 y_bar_{i} = (Σ y_{ij})/n，（i = 1, 2, ..., ns）為第 i 個系統樣本的平均數，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分）
思路引導 VIP
重複系統抽樣相當於將母體分成 k' 個可能的系統樣本（群集），再從中以簡單隨機抽樣抽出 ns 個樣本。因為每個系統樣本大小相同，因此可直接套用簡單隨機抽樣的平均數與變異數估計公式，並加上有限母體修正因數 (1 - ns/k') 即可求解。
小題 (二)
若採用群集隨機抽樣法（Cluster Sampling），在母體大小為 M 中先分成 N 個群集（cluster）（每一個群集之個數為 m1, m2, ..., mN， Σ m_i = M），再以群集為抽樣單位，以簡單隨機抽樣法抽出 n 個群集為一群集樣本，稱為群集隨機樣本。若 y_i 表示第 i 個群集中變數值的總和，請寫出母體平均數 μ_hat 的估計公式？及母體平均數估計式的估計變異數 Var_hat(μ_hat)？(10 分）
思路引導 VIP
遇到群集抽樣估計公式，應先釐清抽樣單位為「群集」，並將每個群集的總和 y_i 視為單一觀測值。接著利用簡單隨機抽樣求得群集總和的估計量，再除以母體總數 M，即可得出母體平均數的不偏估計式及其變異數。
小題 (三)
在何種條件下，題(一)及(二)所述兩種抽樣法之母體平均數的估計值公式會相同？（5 分）
思路引導 VIP
思考系統抽樣與群集抽樣的本質關聯性。系統抽樣實際上可視為一種「群集大小相等」的特殊群集抽樣，藉由比對兩者的母體平均數估計公式，即可推導出兩者公式相同的先決條件。