地特三等申論題 106年 [統計] 迴歸分析

第一題

📖 題組：
某大數據資料分析公司以Y對三個變數X1,X2,X3所做的複迴歸分析中,樣本大小n=14,得到複判定係數R² = 90%,又將Y 改對變數X2做迴歸分析時,得到判定係數 R²=70%,請回答下列問題:(每小題5分,共15分)

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

此公司欲檢定X1, X3的迴歸係數是否為0,請求出F檢定統計量的值。

本題測驗「部分 F 檢定（Partial F-test）」的應用。看到題目給定全模型與縮減模型的判定係數 R²，應直覺聯想到利用 R² 表示的 F 檢定統計量公式，並正確計算兩者的自由度差異來求解。

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【解題思路】利用部分F檢定（Partial F-test），透過全模型與縮減模型的判定係數 R² 公式來計算檢定統計量。【詳解】已知：

設速食店營收為Y(單位為百萬元),廣告費為X₁,有得來速(drive-through)服務時X2=1,沒有則 X2=0,做迴歸分析得到迴歸平面為Y = 1+1.5X₁+2X2,因有得來速服務多出來的平均營收為多少元?

本題重點在於理解「虛擬變數（Dummy Variable）」的迴歸係數意義。看到 X2 這種 0 或 1 的變數，其係數即代表在其他變數固定不變時，具備該特徵（X2=1）相較於不具備該特徵（X2=0）對應變數平均值的影響。最後解題時務必留意應變數 Y 的單位，進行正確換算。

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【解題關鍵】掌握虛擬變數迴歸係數的意義，並注意應變數的計量單位。【解答】計算與推導：

承題(二),令R²₁代表解釋變數X₁對另一個解釋變數做迴歸分析得到的判定係數,j = 1,2, 且R²_1=0.65, R²_2=0.95,求出 X2之變異數膨脹因子(VIF),若 VIF 大於10代表模式有何問題?

本題測驗變異數膨脹因子(VIF)的計算與統計涵義。看到求 VIF，應立即想到公式 VIF_j = 1 / (1 - R²_j)，將對應的判定係數代入計算即可；同時需牢記 VIF > 10 是判斷迴歸模型存在嚴重「多重共線性」的經典實務門檻。

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【解題關鍵】利用變異數膨脹因子公式 VIF_j = 1 / (1 - R²_j) 進行計算，並依據檢定法則判斷多重共線性。【解答】計算：