地特三等申論題
106年
[經建行政] 統計學
第 三 題
📖 題組：
已知兩個獨立且相同分配的隨機變數分別為 X 和 Y，而且 X + Y 的動差母函數（moment generating function）為 m_{X+Y}(t) = e^{4(e^t-1)}。請回答下列問題： (一)求隨機變數 X 的動差母函數及機率分配函數。（12 分） (二)計算機率 P(X ≥ 2)。（5 分） (三)利用題(一)的動差母函數，求母體變異數（variance）。（8 分）
已知兩個獨立且相同分配的隨機變數分別為 X 和 Y，而且 X + Y 的動差母函數（moment generating function）為 m_{X+Y}(t) = e^{4(e^t-1)}。請回答下列問題： (一)求隨機變數 X 的動差母函數及機率分配函數。（12 分） (二)計算機率 P(X ≥ 2)。（5 分） (三)利用題(一)的動差母函數，求母體變異數（variance）。（8 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
利用題(一)的動差母函數，求母體變異數（variance）。（8 分）
思路引導 VIP
這題考查動差母函數（MGF）的核心應用。只要將子題(一)求得的 MGF 對 t 微分一階及二階並代入 t=0，就能求得一階動差 E(X) 與二階動差 E(X^2)，最後利用公式 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 即可解出母體變異數。
小題 (一)
求隨機變數 X 的動差母函數及機率分配函數。（12 分）
思路引導 VIP
利用獨立隨機變數相加之動差母函數等於各自的動差母函數乘積之性質，搭配兩者相同分配的條件解出 X 的動差母函數。接著，再由動差母函數的唯一性定理（Uniqueness Theorem）辨識出此為卜瓦松分配，進而寫出機率分配函數。
小題 (二)
計算機率 P(X ≥ 2)。（5 分）
思路引導 VIP
由題(一)可知 X 服從參數 λ=2 的卜瓦松（Poisson）分配。計算 P(X ≥ 2) 時，直接計算無窮項機率加總較為困難，應利用餘事件 P(X ≥ 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] 代入機率質量函數求解最為快捷。