地特四等申論題 106年 [統計] 統計學概要

第一題

📖 題組：
由兩組具有常態分配且相互獨立之母體（分別稱為母體 I，母體 II）分別抽出樣本數為 n1 = 9，n2 = 4 之兩組隨機樣本。（每小題 10 分，共 20 分）

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

若已知母體 I 的變異數 σ1^2 之 95% 信賴區間為 [11.4061, 91.7557]，母體 II 的變異數 σ2^2 之 95% 信賴區間為 [5.1346, 222.4282]。請求出兩母體標準差比 σ2/σ1 之 95% 信賴區間。

本題測驗「信賴區間的反推」與「雙母體變異數比的信賴區間」。解題策略是先利用已知的單一母體變異數信賴區間與卡方分配，反求出兩組樣本的變異數 (S₁² 與 S₂²)，接著再利用 F 分配公式建構變異數比的信賴區間，最後開平方根即可得到標準差比的信賴區間。

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【解題關鍵】利用卡方分配由給定之單一母體變異數信賴區間反推樣本變異數，再利用 F 分配建構兩母體變異數比之信賴區間，最後開根號求得標準差比。【解答】 Step 1：反推母體 I 與母體 II 之樣本變異數 ($S_1^2, S_2^2$)

根據上述條件，請以顯著水準 α = 0.05 檢定兩母體變異數是否相等。

看到「檢定兩獨立常態母體變異數是否相等」，應立即聯想到使用「F 檢定」。由於本題僅給定樣本數而未提供樣本變異數之實際數值，解題重點在於完整寫出假設檢定的標準步驟，並正確列出檢定統計量的分配（自由度）與拒絕域的臨界值表示法。

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【解題思路】利用 F 檢定來檢定兩獨立常態母體之變異數是否相等，並建立標準的假設檢定程序與拒絕域。【詳解】由於題目未提供兩組樣本的樣本變異數（$S_1^2$ 與 $S_2^2$）之具體數值，故在此建立完整的檢定程序與決策法則如下：