地特四等申論題 106年 [經建行政] 統計學概要

第二題

📖 題組：
二、請回答下列問題:

📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (二)

寫出母體(population)平均數與母體變異數的定義及計算公式。(8分)

看到此題，應立即聯想到描述統計學中最基礎的兩個參數：集中趨勢與離散程度的代表。作答時務必清楚寫出文字定義，並使用正確的母體參數符號（希臘字母 $\mu$ 與 $\sigma^2$），同時特別注意母體變異數公式的分母是母體總數 $N$，切勿與樣本變異數的 $n-1$ 混淆。

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【破題】本題測驗描述統計學中最核心的母體參數：代表集中趨勢的「母體平均數」與代表離散程度的「母體變異數」。【論述】假設一有限母體包含 $N$ 個觀察值，分別記為 $X_1, X_2, \dots, X_N$。

寫出樣本平均數與樣本變異數的計算公式。(8分)

這是一道基礎的公式默寫題。除了寫出正確的數學公式外，務必要條列說明公式中每個符號的定義（如觀測值、樣本數等），並特別留意樣本變異數的分母應為「n-1」而非「n」，以展現對「不偏估計量」概念的了解，確保拿滿配分。

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假設有一組樣本資料為 $X_1, X_2, \dots, X_n$，樣本大小為 $n$。一、樣本平均數（Sample Mean, $\bar{X}$）計算公式： $$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}$$

說明什麼狀況下,會以樣本平均數來替代(估計)母體平均數。(5分)

面對此題，考生應從「實務限制」與「統計學理」雙管齊下作答。先思考為何不直接算母體平均數（因為普查有困難，如成本太高或具破壞性）；再思考為何偏偏選樣本平均數（因為它具備不偏性、一致性等優良估計式的特性）。

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【破題】在實務調查中，當無法直接取得母體完整資料進行普查，且基於統計學理，樣本平均數為母體平均數的優良估計量時，會以樣本平均數來替代（估計）母體平均數。【論述】