高考申論題
106年
[電子工程] 電磁學
第 二 題
📖 題組：
三、靜磁場的兩個重要公式：
(一)\nabla \cdot \vec{B} = 0，表示磁通密度\vec{B}的散度為零，試申述其物理意義。（10 分）
(二)\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}，其中電流密度\vec{J}須滿足何種條件？試申述此一條件之物理意義。（10 分）
三、靜磁場的兩個重要公式：
(一)\nabla \cdot \vec{B} = 0，表示磁通密度\vec{B}的散度為零，試申述其物理意義。（10 分）
(二)\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}，其中電流密度\vec{J}須滿足何種條件？試申述此一條件之物理意義。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
(二)\nabla $\times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$，其中電流密度$\vec{J}$須滿足何種條件？試申述此一條件之物理意義。（10 分）
思路引導 VIP
看到安培定律微分形式，應立刻聯想向量恆等式「任何向量場旋度的散度必為零（∇ · (∇ × B) ≡ 0）」。對方程式兩側取散度即可求得電流密度的數學限制。接著，利用「電荷連續方程式」解釋該數學條件對應「穩恆電流（無電荷累積）」的物理事實，並可順帶點出這正是馬克士威引入位移電流的歷史背景與理論突破口。
小題 (一)
(一)\nabla \cdot $\vec{B} = 0$，表示磁通密度$\vec{B}$的散度為零，試申述其物理意義。（10 分）
思路引導 VIP
看到 \nabla \cdot $\vec{B} = 0$，應直覺聯想到麥克斯韋方程組中的「高斯磁定律」。解題時需結合散度定理將其轉換為積分形式，藉此具體說明「穿過封閉曲面的淨磁通量為零」，並進一步引申出「磁單極不存在」、「磁力線必定為封閉迴路」及「無源場」等三大核心物理意義。
靜磁場安培定律限制
💡 靜磁場下電流密度須滿足散度為零之穩恆條件
🔗 安培定律穩恆條件推導邏輯
- 1 向量恆等式 — 對安培定律兩側取散度，旋度之散度恆為零
- 2 導出數學條件 — 電流密度 J 的散度必須等於零 (∇·J = 0)
- 3 電荷連續性 — 結合連續方程式，電荷密度隨時間變化率為零
- 4 定義物理狀態 — 確立系統為穩恆電流狀態，無電荷累積
- 5 馬克士威修正 — 若不滿足此條件，則須引入位移電流項
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🔄 延伸學習：延伸學習：從此條件可理解為何 KCL 在高頻/時變電路中需重新評估。
