第 一 題

當第一階段抽出之抽樣單位數 $n$ 等於母體第一階段總抽樣單位數 $N$（即 $n = N$），且第二階段 $m_i < M_i$ 時，兩階段抽樣法即為分層隨機抽樣法。 此時，第一階段的每一個抽樣單位（PSU）皆被選入樣本，其角色完全等同於分層抽樣中的「層」（Stratum）；而在各第一抽樣單位中隨機抽出 $m_i$ 個第二抽樣單位（SSU）的過程，即為在各層內進行簡單隨機抽樣。

當第二階段的抽樣為普查（即 $m_i = M_i$ ，對所有被抽中的 $i = 1, 2, \dots, n$）時，兩階段抽樣法即為群集隨機抽樣法。 說明： 在兩階段抽樣法中，第一階段先抽出 $n$ 個群集（第一抽樣單位 PSU）。若在第二階段中，針對這 $n$ 個被抽中群集內的「所有」抽樣單位（即 $M_i$ 個元素全數納入樣本，$m_i = M_i$）進行全面調查，不作進一步的隨機抽樣，則此抽樣設計即完全等同於單階段的「群集隨機抽樣法」（One-stage cluster sampling）。

【解題思路】當母體元素總數 M 未知時，無法直接使用不偏估計量，必須改用「比例估計量（Ratio Estimator）」來估計母體平均數，並運用泰勒展開式近似求得其變異數估計量。 【詳解】 已知條件與符號定義：

【解題思路】利用與大小成比例（PPS）抽樣之 Hansen-Hurwitz 估計量原理。在第一階段為放回式抽樣假設下，利用機率倒數作為權重進行推導。 【詳解】 已知：