第 一 題

【解題思路】利用期望值的線性性質，將平方項展開後，代入二階動差 $E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$ 與獨立變數相乘的期望值性質求解。 【詳解】 已知：

【解題思路】利用期望值與變異數的線性運算性質求出 $E(Y_i)$，再根據指標函數 $I_i$ 的定義確立其伯努利分配性質，最後利用變數間的獨立性推導 $M$ 的二項分配。 【詳解】 已知：$X_1, X_2, X_3, X_4$ 互相獨立且同分配，$E(X_j) = \mu$，$Var(X_j) = \sigma^2$。

【解題思路】利用獨立常態分配之線性組合性質求出差值的分配，再透過標準化與卡方分配定義，求出 $Y_i$ 期望值並轉換為標準常態機率問題。 【詳解】 已知：$X_1, X_2, X_3, X_4 \overset{i.i.d.}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$，$Y_1 = \frac{(X_2 - X_1)^2}{2}$，$Y_2 = \frac{(X_4 - X_3)^2}{2}$。