第 一 題

看到此題，首先必須聯想到統計學的黃金法則：「相關不等於因果」。其次，指出這是一種「偽相關（Spurious correlation）」，並解釋在缺乏學理支持及可能存在潛在干擾變數（如人口成長、時間趨勢）的情況下，此迴歸分析不具任何實質意義。

1. 先回想傳統複迴歸中選擇變數的四大經典方法（向前選擇、向後剔除、逐步迴歸、最佳子集）。
2. 接著思考 p > n 時的數學限制：設計矩陣缺乏滿行秩（Full Column Rank），導致 X'X 不可逆，無法求得傳統 OLS 估計量。

看到配適值向量 $\hat{Y}$，首先應聯想到最小平方法（OLS）的參數估計式 $\hat{\beta}$ 的矩陣解。透過將 $\hat{\beta} = (X^TX)^{-1}X^TY$ 代入 $\hat{Y} = X\hat{\beta}$ 中，即可輕易分離出與 $Y$ 相乘的帽子矩陣（Hat Matrix）$H$。

遇到求殘差向量變異數矩陣的題目，應直覺想到利用投影矩陣（帽子矩陣 H）的對稱與冪等性質。先將殘差向量 e 改寫為 (I-H)ε 的形式，再套用變異數-共變異數的線性轉換公式 Var(AZ) = A Var(Z) A^T 即可順利推導。

看到將 SSE 表達為 Y 的二次式，首要聯想最小平方法中殘差向量 e 與反應變數向量 Y 的關係式 e = (I - H)Y。接著利用帽子矩陣 H（Hat Matrix）的兩個重要特性：對稱性（Symmetric）與冪等性（Idempotent），逐步展開 e'e 即可得證。

要利用最大概似估計法（MLE）求估計量，必須先有母體的機率分配函數。因此第一步需指明必須加上「誤差項服從常態分配」的假設。接著寫出 Y 的多變量常態概似函數，取對數後對參數向量 β 微分並令為零，即可推導出與最小平方估計（OLS）相同的結果。