高考申論題
106年
[統計] 迴歸分析
第 五 題
一位分析師擬以 β~1 = (1/(n-1)) * Σ( (Yi - Yi-1) / (Xi - Xi-1) ) 估計簡單線性迴歸模型Yi = β0 + β1Xi + εi，i=1,...,n 之斜率β1。他可以證明 β~1 是一個不偏估計式。請寫出β1的最小平方估計式β^1。在無須推導 β~1 的變異數下，試述相較於最小平方估計式 β^1， β~1 和 β^1 何者為最佳之估計式？請詳細敘述所依據的理由或定理。（10 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
考生看到此題應先反射性寫出斜率的 OLS 估計式公式。接著針對兩估計式的比較，核心思維應連結至『高斯-馬可夫定理（Gauss-Markov Theorem）』，確認新估計式具備線性與不偏特性後，即可依定理直接判定 OLS 估計式具備最小變異數（BLUE）而較為優越。
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【解題思路】利用高斯-馬可夫定理（Gauss-Markov Theorem）中最佳線性不偏估計式（BLUE）的特性，比較兩估計式之變異數大小以判斷優劣。 【詳解】 已知：簡單線性迴歸模型 $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$，且 $\tilde{\beta}_1$ 為 $\beta_1$ 的不偏估計式。
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