調查局四等申論題
106年
[電子科學組] 通信與系統概要
第 一 題
📖 題組：
考慮線性非時變系統其離散脈衝響應（Discrete impulse response）為 h[n]，其輸入 x[n] 與輸出 y[n]的關係可以用線性旋積（Linear convolution）公式表示： （每小題 10 分，共 20 分） $x[n]*h[n] = y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]h[k]$
考慮線性非時變系統其離散脈衝響應（Discrete impulse response）為 h[n]，其輸入 x[n] 與輸出 y[n]的關係可以用線性旋積（Linear convolution）公式表示： （每小題 10 分，共 20 分） $x[n]*h[n] = y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[n-k]h[k]$
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
試證明 $Y(e^{j\omega}) = X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$， $Y(e^{j\omega})$為 y[n]的離散傅立葉轉換（DTFT）。
思路引導 VIP
面對時域旋積定理的證明，第一步必是寫出離散時間傅立葉轉換（DTFT）的基本定義式。接著將 y[n] 的旋積公式代入，透過交換雙重求和（Summation）的順序，並利用變數代換（如令 m = n - k）分離指數項，即可自然導出兩個獨立的 DTFT 定義式相乘。
小題 (二)
若 $x[n] = e^{j0.3\pi n}$ 及 $h[n] = (0.2)^n u[n]$，試問 y[n]為何？
思路引導 VIP
看到輸入訊號為複數指數函數（$e^{j\omega_0 n}$）時，應立即聯想到它是 LTI 系統的「特徵函數」。解題時可直接代入題幹給定的線性旋積公式，結合離散步階函數決定上下限，將其化為無窮等比級數求解；或者先求出系統的頻率響應（DTFT），再將特定頻率代入求值。