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地特三等申論題 107年 [統計] 抽樣方法

第 一 題

📖 題組：
三、假設總樣本數是 150。再假設研究者把母體分成三層並且取得以下相關資訊： ● 第一層有 100 個抽樣單元、母體變異數 16； ● 第二層有 200 個抽樣單元、母體變異數 25； ● 第三層有 300 個抽樣單元、母體變異數 36； 請回答：假設抽樣成本是一致的，請問根據最佳分配原則， (一)第一層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分） (二)第二層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分） (三)第三層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題

小題 (一)

第一層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分）

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看到各層成本一致的最佳分配，應立即想到使用 Neyman 分配（Neyman Allocation）。解題步驟為：先將各層母體變異數開根號求得標準差，接著計算各層的 N_h S_h 權重總和，最後依比例分配總樣本數並四捨五入。

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【解題關鍵】當各層抽樣成本一致時，最佳分配即為 Neyman 分配，樣本數分配公式為 (n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_h S_h})。 【解答】 已知條件整理：

小題 (二)

第二層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分）

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看到「最佳分配原則」且「抽樣成本一致」，應立即聯想到使用尼曼分配（Neyman allocation）公式。計算時需特別注意題目給定的是母體「變異數」，必須先開根號求得母體「標準差」，再以各層權重比例分配總樣本數。

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【解題關鍵】當各層抽樣成本一致時，最佳分配原則即為尼曼分配（Neyman allocation），樣本數依各層 $N_h S_h$ 之比例進行分配。 【解答】 計算：

小題 (三)

第三層分配到樣本數是多少（答案請四捨五入到個位數）？（5 分）

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看到「最佳分配原則」且「抽樣成本一致」，應立即聯想到奈曼配置（Neyman allocation）。先將各層的母體變異數開根號求得標準差，再計算各層「母體數×標準差」的權重比例，乘上總樣本數即可求得分配樣本。

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【解題關鍵】在抽樣成本一致的假設下，最佳分配原則即為奈曼配置（Neyman allocation），各層樣本數配置公式為 $n_h = n \times \frac{N_h S_h}{\sum N_i S_i}$。 【解答】 計算：

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