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地特四等申論題 107年 [統計] 統計學概要

第 一 題

📖 題組：
（包含子題一、二之情境描述）
📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

假設 Xi ~ N(μ, σ^2), i = 1, …, n, 為 n 個獨立的隨機變數，X 為其平均數，S^2 = sum(Xi - X)^2 / (n-1) 為變異數。請寫出 sum((Xi - μ)/σ)^2 及 sum((Xi - X)/σ)^2 的分配。（10 分）

思路引導 VIP

看到常態母體的標準化變數平方和，應直覺聯想到「卡方分配的定義」與「樣本變異數的抽樣分配」。利用獨立標準常態變數的平方和服從卡方分配，以及常態母體下樣本平均數與樣本變異數互相獨立的性質來破題。

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【解題思路】利用標準常態分配的平方和定義卡方分配，並透過平方和分解與 $\bar{X}$、$S^2$ 獨立之性質進行推導。 【詳解】 已知：$X_1, X_2, \dots, X_n \stackrel{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$，樣本平均數 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$，樣本變異數 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。

小題 (二)

自某母體分配中抽取一組樣本數 n=100 的隨機樣本，得樣本平均數 x = 50.12，樣本標準差 s = 6.76。若以樣本平均數為母體平均數的估計值，令 e 為其 95% 誤差界限，即 P(|X - μ| <= e) = 0.95。請概算誤差界限 e 之值。（10 分） 參考值：Z0.025 = 1.96

思路引導 VIP

本題測驗大樣本母體平均數區間估計之「誤差界限（Margin of Error）」概念。看到樣本數 n=100 ≥ 30，應立即聯想中央極限定理（CLT），以常態分配臨界值 Z 搭配樣本標準差 s 求取標準誤，直接套用公式 e = Z_(α/2) × (s / √n) 即可求解。

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【解題關鍵】大樣本下依據中央極限定理（CLT），利用常態分配臨界值與樣本標準誤來計算母體平均數的 95% 誤差界限：e = Z_(α/2) × (s / √n)。 【解答】 Step 1. 條件整理

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