普考申論題 107年 [電信工程] 通信系統概要

第一題

📖 題組：
假設有一訊息（message）信號 m(t) = cos(40πt) × cos(60πt)。

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

若其通過希爾伯特轉換器（Hilbert Transform），請詳細計算輸出信號。（10 分）

看到信號相乘求希爾伯特轉換，首先想到「積化和差」公式將信號展開為單一頻率的線性組合。接著運用希爾伯特轉換的線性特性，以及對 $\cos(2\pi f_0 t)$ 轉換結果為 $\sin(2\pi f_0 t)$ 的基本性質分別處理，最後即可求得輸出信號。

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【解題思路】利用積化和差公式將信號展開為純餘弦函數的線性組合，再利用希爾伯特轉換（Hilbert Transform）對單一頻率餘弦波產生 $-\pi/2$ 相位移的性質進行推導。【詳解】已知：

請詳細標出雙邊頻 DSB（Double-Sideband）調變信號 m(t) cos(w_c t) 及其上邊頻 USB（Upper Sideband）頻譜響應之頻率位置。（10 分）

看到三角函數相乘的訊息信號，第一步務必先用「積化和差」公式將基頻訊號展開，找出實際包含的基頻頻率成分。接著代入 DSB 調變公式再次進行積化和差，即可輕易找出身處載波兩側的各個頻率位置，最後依據頻率絕對值大於載波頻率的定義挑選出上邊頻（USB）即可。

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【解題思路】利用三角函數的積化和差公式展開訊息信號，再與載波相乘找出調變後的頻譜成分。【詳解】已知：訊息信號 m(t) = cos(40πt)cos(60πt)，載波為 cos(w_c t)，設載波頻率 f_c = w_c / 2π。