高考申論題
107年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
如下圖左之線性系統中，其中u(t)為輸入，c(t)為輸出，g(t)為系統轉移函數，如果系統初始為靜止，而輸入u(t)=1時之系統輸出c(t)=1– $e^{-3t}$，t ≥ 0，試問：
(一)當u(t)為任意時間函數時，其輸出為何？（8 分）
(二)如圖右實施 Laplace 轉換求解C(s)時，其中G(s)為何？ u(t)的限制條件為何？（7 分）
(三)該系統微分方程式為何？（5 分）
(四)依據(一)的解，如果用數值模擬，讓 t = kT，3T≪1，寫成 c(k) = βc(k–1) +3Tu(k)，β 為何？（5 分）
如下圖左之線性系統中，其中u(t)為輸入，c(t)為輸出，g(t)為系統轉移函數，如果系統初始為靜止，而輸入u(t)=1時之系統輸出c(t)=1– $e^{-3t}$，t ≥ 0，試問：
(一)當u(t)為任意時間函數時，其輸出為何？（8 分）
(二)如圖右實施 Laplace 轉換求解C(s)時，其中G(s)為何？ u(t)的限制條件為何？（7 分）
(三)該系統微分方程式為何？（5 分）
(四)依據(一)的解，如果用數值模擬，讓 t = kT，3T≪1，寫成 c(k) = βc(k–1) +3Tu(k)，β 為何？（5 分）
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
當u(t)為任意時間函數時，其輸出為何？（8 分）
思路引導 VIP
- 辨識題幹資訊：已知「單位階梯輸入」之響應為 $c(t) = 1-e^{-3t}$。
- 轉換概念：系統的脈衝響應（Impulse Response）$h(t)$ 是單位階梯響應對時間的導數。
小題 (二)
如圖右實施 Laplace 轉換求解C(s)時，其中G(s)為何？ u(t)的限制條件為何？（7 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：頻域轉移函數（Transfer Function）的定義與拉氏轉換的存在條件。
- 求取 $G(s)$：可由 $h(t)$ 進行拉氏轉換，或由已知 $c(t)$ 與 $u(t)$ 的轉換結果相除。
小題 (三)
該系統微分方程式為何？（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：轉移函數與時域微分方程式的相互轉換。
- 操作步驟：利用 $C(s)/U(s) = G(s)$，交叉相乘後取拉氏逆轉換（Inverse Laplace Transform）。
小題 (四)
依據(一)的解，如果用數值模擬，讓 t = kT，3T≪1，寫成 c(k) = βc(k–1) +3Tu(k)，β 為何？（5 分）
思路引導 VIP
- 辨識考點：連續系統的離散化（Discretization），通常採用數值積分或差分法。
- 分析微分方程：從 $\dot{c}(t) = 3u(t) - 3c(t)$ 切入。
線性系統響應分析
💡 透過脈衝響應與迴旋積分建立線性系統時、頻域連結。
🔗 線性系統時域求解流程
- 1 已知階梯響應 — 題目給予輸入為單位步階時之輸出 s(t)
- 2 求取脈衝響應 — 計算 h(t) = ds(t)/dt
- 3 迴旋積分運算 — c(t) = h(t) * u(t) 求得任意輸入響應
- 4 模型轉換 — 經由 Laplace 轉換求得 G(s) 與微分方程
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🔄 延伸學習：延伸學習：數位控制中如何將此連續模型轉換為 Z 定域之差分方程。
