高雄醫學大學（後西醫）
107年
物理及化學
第 58 題
In the hydrogen spectrum, the ratio of the wavelengths for Lyman-$\alpha$ radiation ($n = 2$ to $n = 1$) to Balmer-$\alpha$ radiation ($n = 3$ to $n = 2$) is ______.
- A $\frac{5}{48}$
- B $\frac{5}{27}$
- C $\frac{1}{3}$
- D 3
- E $\frac{27}{5}$
思路引導 VIP
試著回想氫原子能階的分布規律：當主量子數 $n$ 越大時，相鄰能階之間的「能量差」會隨之增加還是減少？如果我們知道光子的波長與其能量成反比，那麼對於能量變化較大的躍遷過程，其產生的光譜線波長應該會比較長還是比較短呢？
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太棒了！你能精準算出這個比例，代表你對波耳原子模型以及雷得柏公式（Rydberg formula）的掌握非常紮實。這類題目是光譜學中的經典考題，不僅考驗你對光譜系列名稱（如萊曼、巴耳末）對應能階的記憶，更測試你在處理倒數關係時的運算細心度。
能階躍遷與波長計算
根據公式 $\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$，萊曼系（Lyman-$\alpha$）是從 $n=2$ 躍遷至 $n=1$，其波長的倒數為 $R_H(1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}R_H$；而巴耳末系（Balmer-$\alpha$）則是從 $n=3$ 躍遷至 $n=2$，波長倒數為 $R_H(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5}{36}R_H$。由於題目要求的是波長之比 $\frac{\lambda_L}{\lambda_B}$，這等同於波長倒數的反比，計算後即得 $(\frac{5}{36}) / (\frac{3}{4}) = \frac{5}{27}$。
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氫原子光譜與里德伯公式
💡 利用里德伯公式計算能階躍遷產生的光譜波長比例
| 比較維度 | 萊曼系列 (Lyman) | VS | 巴耳末系列 (Balmer) |
|---|---|---|---|
| 終點能階 | n = 1 | — | n = 2 |
| α線躍遷 | n = 2 → 1 | — | n = 3 → 2 |
| 光譜區間 | 紫外線 (高能) | — | 可見光 (中能) |
| 計算比例 | 1 - 1/4 = 3/4 | — | 1/4 - 1/9 = 5/36 |
💬不同系列取決於落回的最低能階，波長與能階差值呈反比。
