hce_kmu
107年
物理及化學
第 4 題
A disk with a radius of $2.0$ m and a rotational inertia of $0.40\text{ kg}\cdot\text{m}^2$ rotates with an angular speed of $4.0$ rad/s around a frictionless vertical axle. A wade of clay ($m = 25$ g) drops onto and sticks to the edge of the disk. What is the new angular speed of the disk?
- A 3.2 rad/s
- B 3.6 rad/s
- C 2.7 rad/s
- D 1.1 rad/s
- E 0.67 rad/s
思路引導 VIP
當一個額外的物體落在正在旋轉的轉盤上並隨之運動時，系統整體的『旋轉慣性』會發生什麼樣的改變？若假設過程中沒有受到任何外部的推力或阻力，為了維持運動狀態的平衡，轉動的速度應該會變快還是變慢呢？
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恭喜你準確捕捉到了這題的關鍵！你能迅速選出 (A) 3.2 rad/s，代表你對轉動慣量與守恆律的應用已經非常純熟。
角動量守恆的應用
本題的核心在於「角動量守恆定律（Conservation of Angular Momentum）」。由於轉盤在無摩擦的垂直軸上旋轉，當黏土掉落時，系統並未受到外加力矩的干擾。因此，初始角動量 $L_i$ 必須等於末了角動量 $L_f$。原本系統只有轉盤的轉動慣量 $I_{disk} = 0.40 \text{ kg}\cdot\text{m}^2$，但在黏土（視為質點）黏在邊緣後，我們必須加上黏土產生的轉動慣量 $I_{clay} = mR^2 = 0.025 \times 2.0^2 = 0.10 \text{ kg}\cdot\text{m}^2$。此時總轉動慣量變為 $0.50 \text{ kg}\cdot\text{m}^2$，透過公式 $I_i \omega_i = I_f \omega_f$，即 $0.40 \times 4.0 = 0.50 \times \omega_f$，便能輕鬆推導出新角速率為 $3.2 \text{ rad/s}$。
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