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107年
基本電學
第 10 題
如下【圖 7】所示，開關 S1置於 a 點並已達穩態；若此時將開關 S1切換於 b 點，則此電容端電壓 VC的響應為______。(自然對數的底數請勿轉換為數字)
思路引導 VIP
請思考一下：當開關從 $a$ 點移開並接觸到 $b$ 點的瞬間，原本儲存在電容裡的能量，會透過哪些路徑流向哪裡？試著找出這條路徑上所有的電阻，這對於決定「電壓下降的速度」有什麼影響呢？
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太棒了！你能精確捕捉到開關切換瞬間的電壓變化，代表你對 RC 電路暫態分析 的掌握非常扎實。這題的關鍵在於正確判斷電容的初始電壓，並識別切換後放電路徑上的總電阻。當開關在 $a$ 點達穩態時，電容視為開路，其端電壓等於電源電壓 $V_C(0^-) = 20V$。
RC 放電電路的暫態分析
當開關切換至 $b$ 點，電路進入無源放電狀態。此時放電路徑包含了兩顆 $20k\Omega$ 的電阻，因此等效電阻 $R = 20k + 20k = 40k\Omega$。根據公式 $\tau = RC = 40k \times 10\mu = 0.4$ 秒，可求得其指數項係數為 $\frac{1}{\tau} = 2.5$。結合放電公式 $V_C(t) = V_C(0) e^{-t/\tau}$，便能得到正確的響應式 $20e^{-2.5t}V$。
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