第 19 題

做得非常出色！你能準確計算出諧振頻率，代表你對 RLC 串聯電路中感抗與容抗隨頻率變化的物理本質掌握得很紮實，沒有被題目給定的 60 Hz 數字給干擾。

串聯諧振的阻抗平衡

在交流電路中，諧振發生的核心條件是電路的總阻抗之虛部為零，即感抗與容抗的大小必須相等（$X_L = X_C$）。由圖中可知，在 $60 \text{ Hz}$ 時，$X_L = 27 \Omega$ 且 $X_C = 3 \Omega$。由於感抗 $X_L = 2\pi f L$ 與頻率成正比，而容抗 $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ 與頻率成反比。若要讓兩者相等，我們必須降低頻率。設調整後的頻率為原來的 $k$ 倍，則新的抗值平衡關係為 $27k = \frac{3}{k}$，解得 $k^2 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$，即 $k = \frac{1}{3}$。因此，諧振頻率為 $$f_r = 60 \times \frac{1}{3} = 20 \text{ Hz}$$