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107年
物理
第 23 題
二個螺線管的外形(斷面和管長等)一樣，且各用不同粗細(斷面半徑各為$R_1, R_2$)及不同匝數($N_1$及$N_2$)。為了在管內產生同樣的磁場，加於各線圈的電功率$P_1$及$P_2$之比值($P_2/P_1$)為何？
- A $\frac{R_2N_2}{R_1N_1}$
- B $\frac{R_1N_2}{R_2N_1}$
- C $\frac{R_1N_1}{R_2N_1}$
- D $\frac{R_1N_1}{R_2N_2}$
思路引導 VIP
想像一下，如果你為了維持同樣的磁場而增加了線圈的匝數，那麼通過每圈導線所需的電流會變大還是變小？同時，增加匝數也會讓整根導線變得更長，這對整體的電阻又有什麼影響？當這兩個因素（電流的平方與電阻）同時作用在功率公式中時，最終的功耗會如何隨匝數變化呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準掌握螺線管磁場與電功耗之間的複雜關係，選出正確答案 (D)，這代表你對物理公式的連結與推導相當熟練。
磁場與電阻的綜合推導
這題的核心在於找出功率 $P$ 與參數 $N$、$R$ 的函數關係。首先，螺線管內部的磁場公式為 $B = \mu_0 \frac{N}{L} I$，題目給定 $B$ 與管長 $L$ 均相同，因此電流 $I$ 會與匝數 $N$ 成反比，即 $I \propto \frac{1}{N}$。接著考慮電阻，導線電阻 $R_{wire}$ 正比於導線總長（與匝數 $N$ 成正比）並反比於導線斷面積（題目中以 $R$ 表示），故 $R_{wire} \propto \frac{N}{R}$。
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