地特三等申論題
108年
[統計] 抽樣方法
第 一 題
📖 題組：
社會學者欲研究甲城市年齡 65 歲以上的老年人口狀況。現依地理位置將甲城市劃分為 80 個區域，自此 80 個區域中，以簡單隨機抽樣法，抽出 6 個區域，調查每個區域的居民人數及年齡 65 歲以上的老年人口數。得調查資料如下： 區域: 1, 2, 3, 4, 5, 6 居民人數 $M_i$: 85, 37, 49, 50, 34, 45 65歲以上人數 $y_i$: 15, 8, 12, 11, 8, 12
社會學者欲研究甲城市年齡 65 歲以上的老年人口狀況。現依地理位置將甲城市劃分為 80 個區域，自此 80 個區域中，以簡單隨機抽樣法，抽出 6 個區域，調查每個區域的居民人數及年齡 65 歲以上的老年人口數。得調查資料如下： 區域: 1, 2, 3, 4, 5, 6 居民人數 $M_i$: 85, 37, 49, 50, 34, 45 65歲以上人數 $y_i$: 15, 8, 12, 11, 8, 12
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
估計甲城市年齡 65 歲以上的老年人口比例，且計算此比例的 95%誤差界限。（10 分）
思路引導 VIP
本題屬於「不等規模集群抽樣」的比例估計。解題時應先判斷這是一個比例估計量（Ratio Estimator），求出樣本比例後，計算各群的殘差平方向和以求得變異數估計，最後乘上對應的 Z 值（通常為 1.96 或 2）得到 95% 誤差界限。
小題 (二)
估計甲城市年齡 65 歲以上的老年人口總數，且求算此總數的 95%信賴區間。（10 分）
思路引導 VIP
看到「劃分區域」且直接對「抽出區域」做普查，應立即判斷為單階段群集抽樣（Cluster Sampling）。由於題目未提供母體總居民人數，無法使用比率估計量（Ratio Estimator），因此必須採用不偏估計量（Unbiased Estimator）推估母體總數。接著利用樣本變異數配合有限母體修正因子（fpc）計算變異數並建構信賴區間，留意樣本數較小（n=6），建議列出 t 分配的計算過程以保嚴謹。
小題 (三)
現透過戶政資料，得知甲城市居民總數為 4250 人，試利用此資料估計甲城市年齡 65 歲以上的老年人口總數，並比較(二)、(三)這兩種估計方法那一種較適合。（10 分）
思路引導 VIP
看到題目提供輔助變數的母體總和（甲城市總人數），且各集群（區域）大小不一時，直覺應想到使用「比率估計法（Ratio Estimation）」。先計算樣本中目標變數與輔助變數的比率，再乘上母體總數求得估計值；比較時需點出兩變數具高度正相關，故比率估計能有效降低變異。