地特四等申論題 108年 [統計] 統計學概要

第一題

📖 題組：
蒐集自變數 X 與應變數 Y 的資料，並將結果整理如下：（每小題 10 分，共 20 分） Σx_i = 460，Σx_i² = 23634，Σy_i = 760，Σy_i² = 59816，Σx_i y_i = 36854 (n=10 由於上標為10)

📝 此題為申論題，共 2 小題

小題 (一)

試求 X 與 Y 間的相關係數，並檢定母體相關係數是否為 0。

看到此題，應先聯想到「皮爾森相關係數」的計算公式，利用給定的離差平方和先求出樣本相關係數 r。接著，使用 t 檢定 (自由度為 n-2) 來檢定母體相關係數是否為 0，並設定虛無假說與對立假說進行完整的統計推論。

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【解題思路】利用給定的原始數據總和求出各項離差平方和與交乘積和，代入公式求得樣本相關係數 r；再建構 t 分配統計量來檢定母體相關係數是否為 0。【詳解】已知條件整理：

假設迴歸模型為Y_i = β_0 + β_1 X_i + ε_i，試求最小平方迴歸線，並檢定模型是否顯著。（α = 0.05）

解決此類簡單線性迴歸題目，第一步應先將已知數值轉換為離差平方和 (SSxx, SSyy, SSxy)。第二步利用公式求出斜率與截距，寫出迴歸線方程式。第三步利用 ANOVA 表或 t 檢定計算檢定統計量，並與臨界值比較以判斷模型顯著性。

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【解題關鍵】利用最小平方法公式求出迴歸係數，並利用變異數分析表（ANOVA）進行迴歸模型的顯著性檢定。【解答】計算：

學生t分配臨界值表 F分配臨界值表