普考申論題
108年
[地震測報] 地球物理數學概要
第 四 題
請解出下列函數的泰勒級數和收斂半徑(Please find the corresponding
Taylor series and associated radius of convergence of the following
functions)。(20分)
z+2
1-z2' Zo = 0
📝 此題為申論題
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遇到求泰勒級數（或馬克勞林級數）的題目，若分母具有 $(1-r)$ 的形式，應優先想到利用「幾何級數（無窮等比級數）」公式進行代換，可大幅省去繁瑣的高階微分計算。收斂半徑則可透過級數本身的收斂條件，或尋找展開點到最近奇異點（使分母為零的點）的距離來判定。
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【解題思路】利用已知幾何級數展開公式 $\frac{1}{1-r} = \sum_{n=0}^{\infty} r^n$ 進行代換以求得泰勒級數，並透過函數奇異點與展開中心的距離決定收斂半徑。 【詳解】 已知：
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