普考申論題
108年
[電信工程] 通信系統概要
第 一 題
📖 題組：
一、非週期性類比信號x(t)之傅立葉轉換 X( f )及相對之反向轉換為 X(f) = ∫_{-∞}^{∞} x(t)e^{-j2πft} dt x(t) = ∫_{-∞}^{∞} X(f)e^{j2πft} df 符號可表示為 x(t) ←F→ X(f) 。
一、非週期性類比信號x(t)之傅立葉轉換 X( f )及相對之反向轉換為 X(f) = ∫_{-∞}^{∞} x(t)e^{-j2πft} dt x(t) = ∫_{-∞}^{∞} X(f)e^{j2πft} df 符號可表示為 x(t) ←F→ X(f) 。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
證明雷利能量定理（Rayleigh’s energy theorem）：
∫_{-∞}^{∞} |x(t)|² dt = ∫_{-∞}^{∞} |X(f)|² df （10 分）
思路引導 VIP
看到雷利能量定理（Parseval定理的一種），首要聯想是將 $|x(t)|^2$ 展開為 $x(t)x^*(t)$。接著利用反傅立葉轉換替換其中一個 $x(t)$，並透過「交換積分順序」及「共軛頻譜性質」即可流暢導出頻域能量積分等式。
小題 (二)
假如 x(t) ←F→ X(f) 證明 X(t) ←F→ x(-f) （5 分）
思路引導 VIP
這題考查傅立葉轉換的重要性質：「對稱性（Duality Property）」。破題關鍵是直接從題目給定的「傅立葉反向轉換」定義式出發，透過變數代換（將時間變數 t 替換為 -f，頻率變數 f 替換為 t），即可比對正向轉換公式完成證明。
小題 (三)
求 ∫_{-∞}^{∞} |40 sin(20πt) / (20πt)|² dt （5 分）
思路引導 VIP
看到 sinc 函數的平方積分，切勿嘗試在時域直接硬積。應立刻聯想到『帕塞瓦爾定理（Parseval's Theorem）』或『瑞利能量定理』，將求時域信號能量轉換至頻域處理；因為 sinc 函數在頻域對應的是理想矩形波，計算矩形函數的平方積分極為簡單。