高考申論題
108年
[天文] 近代物理
第 一 題
📖 題組：
二、有一個在一維 x 空間的粒子，其運動受到位能函數 V(x)的影響，而其波動函數（未歸一化）為 ψ(x)=e^-ax^2/2，a 為常數。如果 V(x)在 x=0 處有極小值，試利用薛丁格方程式（Schrödinger equation）求出：(一)此粒子運動能量的本徵值（eigenvalue）（10 分），及(二)位能函數 V(x)。（10 分）
二、有一個在一維 x 空間的粒子，其運動受到位能函數 V(x)的影響，而其波動函數（未歸一化）為 ψ(x)=e^-ax^2/2，a 為常數。如果 V(x)在 x=0 處有極小值，試利用薛丁格方程式（Schrödinger equation）求出：(一)此粒子運動能量的本徵值（eigenvalue）（10 分），及(二)位能函數 V(x)。（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
此粒子運動能量的本徵值（eigenvalue）（10 分）
思路引導 VIP
看到給定波函數與位能條件的題目，應立即聯想到「一維不含時薛丁格方程式」。將波函數進行二次微分並代入方程式，透過比較常數項與變數項，並設定位能極小值為零位能參考點，即可同步解出能量本徵值與位能函數。
小題 (二)
位能函數 V(x)。（10 分）
思路引導 VIP
面對已知波動函數反求位能函數的題型，核心策略是代入「一維不含時薛丁格方程式（TISE）」。透過計算波動函數的二階空間導數，將結果代回方程式中，分離出含 $x$ 的變數項與常數項，再配合題目給定之「位能極小值」條件定義參考零點，即可嚴謹推導出位能函數的形式。