第 一 題

看到這題，首先要辨識出這是一個「共用斜率參數，但各組截距設定不同」的聯合迴歸（Pooled Regression）問題。思考時不要把三條線分開獨立估計，而是應該把它們「堆疊（Stack）」成一個大的矩陣形式 Y* = Xβ + ϵ。特別注意第三條線的截距是「常數 1」而不是未知參數，所以要把 1 移到等式左邊，當作已知的反應變數平移。在建構設計矩陣 X* 時，應該包含三個行向量：第一組的虛擬變數、第二組的虛擬變數、以及全部的 x 值。接著利用正規方程式 (X^T X)^(-1) X^T Y 即可聯立求解。推導變異數時，要小心第三組的 X 是沒有中心化（未減去平均數）的，這是一個大陷阱！

這是一道引導推導「羅吉斯迴歸（Logistic Regression）」連結函數（Link Function）的經典題型。首先，釐清 Q 是一個伯努利（Bernoulli）隨機變數（0 或 1），所以 E(Q) = P(Q=1) = P(Y>0)。接著，將 Y 的模式代入 P(Y>0)，即 P(β0 + β1X + ϵ > 0) = P(ϵ > -β0 - β1X)。觀察題目給的誤差項 ϵ 的 PDF，這是標準羅吉斯分配（Standard Logistic Distribution），你需要先求出它的 CDF，再利用羅吉斯分配對稱於 0 的特性（或直接積分）算出機率 μ。最後，把 μ 表達成 β0+β1X 的函數後，求反函數，即可得到題求的連結函數 h(μ)。

面對誤差項存在一階自我相關（AR(1)）的問題，首先應回歸普通最小平方法（OLS）估計式不偏性的數學定義，利用期望值的線性運算性質進行推導。接著，聯想實務上具備時間或空間延續性的資料型態。最後，針對自我相關的檢定，直覺應想到利用殘差建構的 Durbin-Watson (DW) 檢定，寫出其核心概念公式即可。

本題測驗「自變數存在測量誤差（Errors-in-Variables）」的經典計量經濟學問題。看到此題應直覺想到：當自變數有測量誤差時，會產生「內生性」問題，導致 OLS 估計量產生「向零偏誤（Attenuation Bias）」。補救措施通常依賴已知誤差變異數進行修正，或尋找合適的工具變數（IV）。