高考申論題
108年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
某跨國企業 A 公司其資料科學家利用下列複迴歸模式 yi = β0 + β1xi + β2zi + ϵi，i = 1, ⋯,10， 來分析該公司一產品的銷售額變化量和該公司此產品價格變化量與競爭對手 B 公司其相對競爭產品價格變化量的關係，其中yi為 A 公司在第i個地區的銷售額變化量，xi為 A 公司的產品在第i個地區的價格變化量，zi為 B 公司的競爭產品在第i個地區的價格變化量，而隨機誤差ϵ1,⋯,ϵ10為彼此獨立，期望值為0，且變異數皆為σ^2的常態分配。給定銷售額變化量y1,⋯,y10及下列解釋變數矩陣 X 與反應變數向量 Y 的相關資訊： X^t X = [10 0 0] [0 20 0] [0 0 20] ，X^t Y = [28] [-20] [12] ，y ̅ = (∑_(i=1)^10▒y_i)/10 = 2.8，∑_(i=1)^10▒y_i^2 = 130， 其中 X = [1 x1 z1] [1 x2 z2] [⋮ ⋮ ⋮] [1 x10 z10] ，Y = [y1] [y2] [⋮] [y10] ， 以及X^t為矩陣X的轉置矩陣。
某跨國企業 A 公司其資料科學家利用下列複迴歸模式 yi = β0 + β1xi + β2zi + ϵi，i = 1, ⋯,10， 來分析該公司一產品的銷售額變化量和該公司此產品價格變化量與競爭對手 B 公司其相對競爭產品價格變化量的關係，其中yi為 A 公司在第i個地區的銷售額變化量，xi為 A 公司的產品在第i個地區的價格變化量，zi為 B 公司的競爭產品在第i個地區的價格變化量，而隨機誤差ϵ1,⋯,ϵ10為彼此獨立，期望值為0，且變異數皆為σ^2的常態分配。給定銷售額變化量y1,⋯,y10及下列解釋變數矩陣 X 與反應變數向量 Y 的相關資訊： X^t X = [10 0 0] [0 20 0] [0 0 20] ，X^t Y = [28] [-20] [12] ，y ̅ = (∑_(i=1)^10▒y_i)/10 = 2.8，∑_(i=1)^10▒y_i^2 = 130， 其中 X = [1 x1 z1] [1 x2 z2] [⋮ ⋮ ⋮] [1 x10 z10] ，Y = [y1] [y2] [⋮] [y10] ， 以及X^t為矩陣X的轉置矩陣。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
計算判定係數（coefficient of determination）R^2及r_yy ̂，其中r_yy ̂是觀察值y_1, y_2, ⋯, y_10與配適值（fitted values）(y_1) ̂, (y_2) ̂, ⋯, (y_10) ̂的相關係數（coefficient of correlation）。（8 分）
思路引導 VIP
這一題的核心在於利用題目提供的矩陣資訊來計算 ANOVA 表格所需的平方和。首先，觀察到 X^T X 是一個對角矩陣（Diagonal Matrix），這表示自變數彼此正交（Orthogonal），這會讓計算極大幅度簡化。 第一步：求參數估計值 β̂ = (X^T X)^(-1) X^T Y。因為是對角矩陣，直接對應元素相除即可：β̂0 = 28/10 = 2.8，β̂1 = -20/20 = -1，β̂2 = 12/20 = 0.6。
小題 (二)
在顯著水準α=0.05，利用 F 檢定法檢定 H_0: β_1 = β_2 = 0及H_1: β_1 ≠ 0 或β_2 ≠ 0。且完成下列關於此檢定的變異數分析表（ANOVA table）。（11 分）
來源(source) | 自由度(degree of freedom) | 平方和(sum of squares) | 均方和(mean square) | F 統計量
迴歸 | (1) | (4) | (7) | (9)
誤差 | (2) | (5) | (8) |
總和 | (3) | (6) | |
思路引導 VIP
這題要求完成整體的 ANOVA 表格，並進行綜合檢定（Overall F-test）。 資訊都在前一小題算完了，只需要放對位置：
小題 (三)
在顯著水準α = 0.05，利用 F 檢定法檢定 H_0: β_1 + 2β_2 = 0及H_1: β_1 + 2β_2 ≠ 0。（8 分）
思路引導 VIP
這題考查的是「一般線性假設（General Linear Hypothesis）」，也就是對於迴歸係數線性組合的檢定。題目要求使用 F 檢定（當然也可以用等價的 t 檢定平方，F = t^2）。 首先定義線性組合 C = Lβ，其中 L = [0, 1, 2]。我們要檢定 H0: Lβ = 0。
小題 (四)
假定因中美貿易戰的影響，若兩公司同在第 11 個地區競爭且其價格各自調高 1，即x11=1及z11=1。請計算在此地區 A 公司平均銷售額變化量 E(y11)= β0 + β1x11 + β2z11的預測值及其 95%預測信賴區間，即 E(y11)的點估計及區間估計。（8 分）
思路引導 VIP
這題考的是「母體平均數的信賴區間（Confidence Interval for Mean Response）」。注意題目文字是求 E(y11) 的區間，而不是求單一觀測值 y11 的預測區間（Prediction Interval）。這兩者的變異數公式差了一個 1（或者說差了一個 MSE）。 第一步：求點估計（預測值）。把 x=1, z=1 帶入已經估計出來的迴歸方程式：ŷ11 = β̂0 + β̂1(1) + β̂2(1)。