高考申論題
108年
[統計] 迴歸分析
第 一 題
📖 題組：
某工業研究所欲研究某反應過程所散發之熱能 Y 與某化合物含量 X 間的關係。利用簡單線性迴歸模式 yi = β0 + β1xi + ϵi，i = 1, ⋯,5， 其中yi為第i次反應過程所散發熱量之測量值，xi為第i次反應過程此化合物含量，且隨機誤差ϵ1,⋯,ϵ5為彼此獨立，期望值為0，變異數皆為σ^2的常態分配。根據 5 次反應過程所得之資料可得估計迴歸關係式為 y ̂ = 0.2 + 2.6x 且判定係數（coefficient of determination）R^2 為 0.845。
某工業研究所欲研究某反應過程所散發之熱能 Y 與某化合物含量 X 間的關係。利用簡單線性迴歸模式 yi = β0 + β1xi + ϵi，i = 1, ⋯,5， 其中yi為第i次反應過程所散發熱量之測量值，xi為第i次反應過程此化合物含量，且隨機誤差ϵ1,⋯,ϵ5為彼此獨立，期望值為0，變異數皆為σ^2的常態分配。根據 5 次反應過程所得之資料可得估計迴歸關係式為 y ̂ = 0.2 + 2.6x 且判定係數（coefficient of determination）R^2 為 0.845。
📝 此題為申論題，共 4 小題
小題 (一)
計算調整判定係數（adjusted coefficient of determination）及x_1, ⋯, x_5與y_1, ⋯, y_5 的相關係數（coefficient of correlation）。（5 分）
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這題是基本的迴歸指標換算。 第一部分：調整後判定係數 (Adjusted R^2)。公式為 R^2_a = 1 - [ (1 - R^2) * (n - 1) / (n - k - 1) ]。代入數據：n=5，簡單迴歸 k=1（1個自變數），R^2=0.845。分母 n - k - 1 = 5 - 1 - 1 = 3。套用計算。
小題 (二)
在顯著水準α=0.05，利用 F 檢定法檢定 H_0: β_1 = 0及H_1: β_1 ≠ 0。（5 分）
思路引導 VIP
如何只用 R^2 和 n 來做 F 檢定？這是 ANOVA 的精華之一。 回憶 F 統計量的定義：F = MSR / MSE = (SSR/1) / (SSE/(n-2))。而我們知道 R^2 = SSR / SST，這也意味著 SSR = R^2 * SST，且 SSE = (1 - R^2) * SST。把 SST 上下約掉，可以得到純用 R^2 表達的 F 值公式：F = [R^2 / k] / [(1 - R^2) / (n - k - 1)]。
小題 (三)
計算 β_1 的 95%信賴區間估計。（5 分）
思路引導 VIP
要求 β_1 的信賴區間，標準公式是：β̂1 ± t_(α/2)(n-2) * SE(β̂1)。 我們有 β̂1 = 2.6。我們有 t 分配的臨界值 t_(0.025)(3) = 3.182。
小題 (四)
(β_0) ̂為β0的最小平方估計量（least squares estimator），且給定(β_0) ̂的標準誤為 2.13。在顯著水準α=0.05，利用 t 檢定法檢定H_0: β_0 ≥ 4及H_1: β_0 < 4。（5 分）
思路引導 VIP
這是一道標準的單尾 t 檢定。要非常小心對立假設（H1）的方向！ H1 是 β0 < 4，這表示這是一個「左尾檢定（Left-tailed test）」。