第 一 題

這題是迴歸分析中非常經典的「模型設誤（Model Misspecification）」問題，分為兩種情況：模式 A 是「遺漏變數（Omitted Variables/Underspecification）」，模式 B 是「過度配適（Overspecification）」。 先處理模式 A（遺漏變數）：真正的模型是 y = β0 + β1x + β2x^2 + ϵ。模式 A 只放了截距和 x。利用遺漏變數的期望值公式：E(β̂_A) = β_A + (X_A^T X_A)^(-1) X_A^T X_omit * β_omit。這裡 X_A 是包含 1 和 x 的矩陣，X_omit 是 x^2 的向量，β_omit 就是 β2。首先，觀察數據 x_i 的特性，這是一個對稱設計：-5, -3, -1, 0, 1, 3, 5。因此 Σx_i = 0，Σx_i^3 = 0，這會讓矩陣相乘大量出現 0，極大簡化計算。計算出偏移矩陣 (Alias Matrix) 後乘上 β2 即可得知 E(β̂_0A) 和 E(β̂_1A) 受污染的程度。

這是一道觀念題。看到「缺適檢定（Lack of Fit Test）」，腦袋裡要立刻閃過它的發動要件：必須要有「重複觀測值（Replicates）」。 什麼是重複觀測值？就是在同一個自變數 x 水準下，有兩個以上的 y 觀察值。這樣我們才能算出「純誤差平方和（Pure Error Sum of Squares, SSPE）」，作為檢定模型是否適當的客觀分母。

本題核心在於理解「向後消去法」的迭代程序（由全模型開始，每次剔除 Partial F 值最小且不顯著的變數）。解題關鍵是利用表中的 Mallows' Cp 統計量反推各模型的誤差平方和 (SSE)，進而計算出 Partial F 統計量以進行變數剔除的假設檢定。

看到此題，應先辨識出 dfb 與 dffit 分別為迴歸診斷中的 DFBETAS 與 DFFITS 統計量，兩者皆用於偵測『影響點（influential points）』。解題需分為兩層次：首先說明其原理（皆基於剔除單一觀察值 leave-one-out 的概念），接著結合表中的具體數值（-0.154 與 -0.371），具體解釋第 1 筆觀測值對 $\beta_2$ 估計值以及第 1 筆配適值造成的改變方向與幅度。