高考申論題
108年
[經建行政] 統計學
第 一 題
📖 題組：
兒童福利機構想了解 10 歲兒童每週看電視時間（X）與其體重過重程度（Y）間之關係，隨機蒐集 6 位 10 歲兒童每週看電視時間及體重過重程度（實際體重減理想體重，以公斤為單位）的資料，如下表： X 34 18 38 33 29 x6 Y 6 -7 14 7 8 y6 以最小平方法估計迴歸線為 Y^ = -22.609 + 0.937X。然而，在存檔過程中，分析人員不小心將第 6 位兒童的資料刪除，試問：
兒童福利機構想了解 10 歲兒童每週看電視時間（X）與其體重過重程度（Y）間之關係，隨機蒐集 6 位 10 歲兒童每週看電視時間及體重過重程度（實際體重減理想體重，以公斤為單位）的資料，如下表： X 34 18 38 33 29 x6 Y 6 -7 14 7 8 y6 以最小平方法估計迴歸線為 Y^ = -22.609 + 0.937X。然而，在存檔過程中，分析人員不小心將第 6 位兒童的資料刪除，試問：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
第 6 位兒童每週看電視時間（x6）及其體重過重程度（y6）各為何？（15 分）
思路引導 VIP
這是一道充滿巧思的迴歸反推題。已知最小平方法 (OLS) 的迴歸線截距項與斜率項，要求解遺失的一組資料 $(x_6, y_6)$。可以利用 OLS 的兩條正規方程式 (Normal Equations)：
- $\sum Y = n\beta_0 + \beta_1 \sum X$
小題 (二)
顯著水準為 0.01 情況下，檢定此迴歸模型是否具有配適能力？（10 分）
思路引導 VIP
本題要求檢定模型的配適能力，即進行迴歸的變異數分析 (ANOVA) F 檢定，測試 H0: $\beta_1 = 0$。需要先利用剛算出的完整 6 筆資料，計算 $S_{XX}, S_{YY}, S_{XY}$，然後求出迴歸平方和 (SSR)、誤差平方和 (SSE)、總平方和 (SST)，建立 ANOVA 表，計算出 F 統計量，並與查表得到的臨界值比較。自由度為 df1=1, df2=n-2=4。
📜 參考法條
t 分配之臨界值表
F 分配之臨界值表