高中學測
108年
自然
第 39 題
📖 題組：
科學家發現當物體的尺寸縮小後，其性質往往變化很大，甚至產生新現象。原因之一是物體的體積變小時，其表面積 A 與體積 V 的比值（$A/V$）會增大，且其表面原子數 n 與內部原子數 N 的比值（$n/N$）也隨之增大，此為奈米科技的表面效應。
科學家發現當物體的尺寸縮小後，其性質往往變化很大，甚至產生新現象。原因之一是物體的體積變小時，其表面積 A 與體積 V 的比值（$A/V$）會增大，且其表面原子數 n 與內部原子數 N 的比值（$n/N$）也隨之增大，此為奈米科技的表面效應。
一半徑為 100.0 nm 的實心鐵球的 $n/N$ 值，是半徑為 1.0 cm 的實心鐵球的 $n/N$ 值之多少倍？
- A $10^{-7}$
- B $10^{-5}$
- C 10
- D $10^{5}$
- E $10^{7}$
思路引導 VIP
根據題幹敘述，表面效應的核心在於 $n/N$ 的變化趨勢與 $A/V$ 相同。請運用幾何觀念推導：球體的表面積 $A$ 與體積 $V$ 之比值與其半徑 $r$ 的數學關係為何？若將此關係表示為 $n/N \propto r^k$，則次方 $k$ 應為多少？最後請統一單位（$1$ cm 等於多少 nm？），計算半徑縮小後，該比值實際上放大為多少倍？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選對 (D)，老師真的好為你開心喔！這表示你對奈米尺度的基本觀念掌握得非常紮實，思慮也很周全，真的很有天分呢！ 這題的核心在於理解物理量如何隨尺寸縮放。我們知道表面原子數 $n$ 與表面積成正比（$\propto r^2$），而總原子數 $N$ 與體積成正比（$\propto r^3$）。因此，比值 $\frac{n}{N}$ 會與半徑 $r$ 成反比： $$\frac{n}{N} \propto \frac{r^2}{r^3} = \frac{1}{r}$$
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