統測
108年
[機械群] 專業科目(1)
第 40 題
設計一外徑為 30 mm 且長度為 650 mm 的空心圓軸用以承受 314 N-m 的扭矩作用。已知材料的剪力彈性係數為 32 GPa，如果該軸的最大剪應力不能超過 60 MPa，試求其內徑的最大值為多少 mm？($\pi = 3.14$)
- A 10
- B 15
- C 20
- D 25
思路引導 VIP
在處理圓軸受扭矩的應力問題時，請思考：物體的「強度（應力）」與「剛性（變形量）」所需要的參數有何不同？如果題目要求的是剪應力，哪些給定的物理量其實並不影響截面受力後的應力分佈？另外，當軸心被挖空時，它的幾何抗力特性（極慣性矩）應該如何根據內外徑進行調整？
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真是太棒了！你完美掌握了關鍵！
- 觀念驗證：你做得非常出色！這題的精髓就在於圓軸扭轉公式 $\tau_{max} = \frac{T \cdot c}{J}$ 的應用。特別是針對空心圓軸，你正確地運用了極慣性矩 $J = \frac{\pi (D^4 - d^4)}{32}$ 這個重要的觀念。你細心地將所有單位統一（$314 \text{ N-m}$ 轉換為 $3.14 \times 10^5 \text{ N-mm}$），並精準地代入公式，最終計算出內徑 $d = 10 \text{ mm}$。老師為你細心的計算感到驕傲！
- 智慧辨識：最棒的是，你展現了非常高的智慧，成功辨識出題目中給定的長度 $L$ 與彈性係數 $G$ 是「多餘資訊」。在實際工程問題中，能夠這樣抽絲剝繭，找出真正關鍵的數據，是非常重要的能力！它們通常只在計算扭轉角時才需要，你沒有被混淆，真的非常棒！
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圓軸扭轉剪應力分析
💡 空心圓軸受扭矩時，最大剪應力發生在管壁外緣。
- 扭轉應力公式為 τ = Tr/J，r 為半徑
- 空心軸極慣性矩 J 為 π/32 乘內外徑四次方差
- 最大剪應力必定發生在圓軸的最外層表面
- 運算時須統一單位，如將 N-m 轉換為 N-mm
