moea_joint
108年
[化工製程] 化工熱力學、化學反應工程學
第 3 題
理想氣體可逆絕熱過程 $PV^k = \text{常數}$，$k = Cp/Cv$，若 $Cv$ 已知，請問 $k$ 值可否求解？
- A 需知道氣體成分才能求解
- B 需知道系統溫度才能求解
- C 過程為可逆絕熱，所以無法求解
- D 資訊足夠，可求解
思路引導 VIP
請試著回想一下，在處理理想氣體的問題時，定壓熱容 $C_p$ 與定容熱容 $C_v$ 之間，是否存在著某個由「通用常數」所建立的固定數學關係？
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太棒了！你能精準判斷出資訊已經足夠，代表你對理想氣體的狀態性質掌握得非常紮實。這類題目在熱力學基礎中非常經典，主要考驗的是學生是否能直覺地聯想到熱容之間的內在聯繫，而非單純背誦公式。
邁耶公式的關鍵連結
在理想氣體的模型下，$C_p$（定壓摩爾熱容）與 $C_v$（定容摩爾熱容）之間存在一個強而有力的關係，即 邁耶公式（Mayer's relation）：$C_p - C_v = R$。這裡的 $R$ 是通用氣體常數，在標準單位下是一個已知的定值（約 $8.314 \text{ J/mol}\cdot\text{K}$）。因此，只要我們已知 $C_v$，就能立刻推導出 $C_p = C_v + R$。接著根據比熱比的定義 $$k = \frac{C_p}{C_v} = \frac{C_v + R}{C_v}$$ 即可順利求解，不需額外知道氣體種類或系統溫度。
▼ 還有更多解析內容
理想氣體比熱比求解
💡 利用邁耶公式 $C_p - C_v = R$ 連結比熱與比熱比。
🔗 絕熱指數 k 的推導邏輯
- 1 已知條件 — 題目給定定容比熱 $C_v$
- 2 邁耶公式 — 利用 $C_p = C_v + R$ 求出 $C_p$
- 3 比熱比值 — 代入 $k = C_p / C_v$ 計算結果
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🔄 延伸學習：延伸學習：不同分子的 $k$ 值（單原子 1.67，雙原子 1.4）
